Урок 1. Как записываются числа?

Определения и обозначения

Цифра — один из десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры подобны буквам в записи слов: из них составляют записи чисел. Зная все десять цифр, можно записать любое натуральное число.

Число — математический объект, который используют для счёта и измерения. Его записывают одной цифрой или несколькими цифрами, например 7 и 428. Число показывает, сколько предметов, единиц длины, массы или других величин мы имеем.

Разряд — позиция цифры в записи числа, определяющая её значение. Справа находятся единицы, затем десятки, сотни, тысячи и другие разряды. По разрядам можно понять, какую часть числа обозначает каждая цифра.

Класс числа — группа из трёх соседних разрядов, считая справа налево. В каждом классе есть единицы, десятки и сотни: например, единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Классы помогают удобно записывать и читать многозначные числа.

Как это устроено

В десятичной системе достаточно десяти цифр, потому что при счёте используются десять вариантов остатка после группировки предметов по десяткам: от нуля до девяти. Дойдя до десяти единиц, мы заменяем их одной десяткой и снова начинаем использовать цифры от 0 до 9. Поэтому любое большое число можно составить из тех же десяти знаков, повторяя их в разных разрядах.

Положение цифры меняет её значение, потому что запись показывает, сколько разрядных единиц данного вида в числе. Цифра 6 в записи 6, 60 и 600 обозначает соответственно 6 единиц, 6 десятков и 6 сотен. Сам знак не изменился, но его место определило количество единиц, десятков или сотен.

При переходе на один разряд влево разрядная единица увеличивается в десять раз. Десять единиц составляют один десяток, десять десятков — одну сотню, а десять сотен — одну тысячу. Поэтому цифра слева от другой при одинаковом написании обозначает в десять раз большее значение.

Многозначную запись делят на классы справа налево по три цифры. Сначала выделяют класс единиц, затем класс тысяч, миллионов, миллиардов и так далее. Например, запись 4 582 307 состоит из классов 4 миллионов, 582 тысяч и 307 единиц, поэтому её легче прочитать без ошибки.

Число можно представить как сумму значений всех его цифр по разрядам. Например, 352 = 300 + 50 + 2, потому что в нём 3 сотни, 5 десятков и 2 единицы. Такая запись помогает проверить число: если сложить разрядные слагаемые, должна получиться исходная запись.

Разряды и классы десятичной записи числа

Чтобы пользоваться таблицей, отсчитывайте цифры числа справа налево и находите для каждой её разряд. Затем умножайте цифру на разрядную единицу, указанную в таблице. Нулевой разряд тоже учитывают: в числе 4 582 307 ноль означает отсутствие десятков.

Разбор задач

Запись числа словами

Условие. Запишем цифрами число «триста семь тысяч пятьдесят два», а затем прочитаем результат. В названии есть класс тысяч и класс единиц. Слово «пятьдесят» показывает десятки, а отсутствие названия сотен в классе единиц требует нуля.

1. Разделим число на классы: «триста семь тысяч» — это 307 тысяч, «пятьдесят два» — 52 единицы.
2. Запишем класс тысяч тремя цифрами: 307. Ноль на месте десятков показывает, что десятков тысяч нет.
3. Запишем класс единиц также тремя цифрами: 052. Ноль на месте сотен нельзя пропустить.
4. Соединим классы пробелом и получим 307 052.

Ответ: 307 052; число читается «триста семь тысяч пятьдесят два». Нули внутри записи нужны, чтобы сохранить места пропущенных разрядов.

Значение цифры и разложение числа

Условие. Определим значение цифры 6 в числе 3 064 218 и представим число суммой разрядных слагаемых. Цифра 6 стоит в разряде десятков тысяч. Остальные ненулевые цифры также заменим их разрядными значениями.

1. Отсчитаем справа: 8 единиц, 1 десяток, 2 сотни, 4 тысячи, 6 десятков тысяч, 0 сотен тысяч, 3 миллиона.
2. Значение цифры 6 равно 60 000, потому что 6 × 10 000 = 60 000.
3. Запишем ненулевые разрядные слагаемые: 3 000 000 + 60 000 + 4 000 + 200 + 10 + 8.
4. Проверим сложением: сумма равна 3 064 218.

Ответ: цифра 6 обозначает 60 000; 3 064 218 = 3 000 000 + 60 000 + 4 000 + 200 + 10 + 8.

Составление шестизначных чисел

Условие. Составим наименьшее и наибольшее шестизначные числа из цифр 0, 2, 4, 5, 7, 9, используя каждую один раз. Первая цифра шестизначного числа не может быть нулём. Для наименьшего числа меньшие цифры ставим левее, а для наибольшего — большие.

1. Для наименьшего числа первой ставим наименьшую ненулевую цифру 2.
2. Оставшиеся цифры располагаем по возрастанию: 0, 4, 5, 7, 9.
3. Получаем 204 579.
4. Для наибольшего числа располагаем все цифры по убыванию: 9, 7, 5, 4, 2, 0.

Ответ: наименьшее число — 204 579, наибольшее — 975 420. Ноль можно поставить в начало только при записи числа с меньшим количеством разрядов, но не в шестизначном числе.

Типичные ошибки

Ошибка — считать цифру и число одним и тем же. Цифра является знаком, а число может состоять из одной или нескольких цифр, например 8 и 208. Проверьте себя: спросите, идёт ли речь об отдельном символе или о количестве, которое он обозначает.

Ошибка — называть значение цифры только по её виду, не учитывая позицию. Так, цифра 5 в числах 5, 50 и 500 имеет разные значения. Для проверки отсчитайте разряды справа налево и назовите разряд цифры.

Ошибка — пропускать нулевые разряды при записи числа по названию. В результате цифры сдвигаются, и число становится другим: «триста семь тысяч» — это 307 000, а не 37 000. Проверьте каждый класс: в нём должны быть сотни, десятки и единицы, даже если некоторые обозначены нулём.

Ошибка — группировать цифры слева направо или неравными группами. Классы отсчитывают справа налево по три разряда, начиная с класса единиц. Для проверки поставьте пробелы в записи и прочитайте название каждого класса.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь считать натуральными числами, знать их последовательность и понимать, что число получается в результате счёта единиц. Это помогает увидеть, почему после 9 единиц появляется 1 десяток.

Разряды понадобятся при сравнении, сложении, вычитании, округлении и записи многозначных чисел. Положение цифр позволяет быстро определить старший разряд и сравнить числа.

Разрядный состав связан с письменными арифметическими действиями. При сложении выполняют перенос в следующий разряд, а при вычитании занимают единицу старшего разряда.

Что запомнить

• Для записи чисел в десятичной системе используют десять цифр.
• Значение цифры зависит от её положения в записи числа.
• Каждый следующий разряд слева в десять раз больше предыдущего.
• Ноль обозначает отсутствие единиц соответствующего разряда.
• Многозначные числа группируют справа налево по три цифры.
• Число можно представить как сумму разрядных слагаемых.