"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя сторонами, вершинами и углами. Его вершины называют по порядку, а отрезки между несоседними вершинами — диагоналями. Диагональ помогает увидеть, почему сумма внутренних углов четырёхугольника равна 360°: она разделяет фигуру на два треугольника, у каждого из которых сумма углов 180°. Знание элементов четырёхугольника нужно, чтобы описывать фигуры, находить неизвестные углы и вычислять периметр — длину всей границы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырёх сторон, четырёх вершин и четырёх углов. Обычно его изображают как замкнутую фигуру без пересекающихся сторон. Это понятие помогает описывать фигуры, находить их элементы и применять правила для углов и периметра.
Вершина четырёхугольника — точка, в которой соединяются две его стороны; вершины обозначают заглавными латинскими буквами. Например, у четырёхугольника ABCD вершинами являются A, B, C и D. Буквенные обозначения позволяют точно указать нужную точку и не путать её с другими.
Сторона четырёхугольника — отрезок, соединяющий две соседние вершины. У ABCD сторонами будут AB, BC, CD и DA. Записывая сторону двумя буквами, мы показываем, какие именно вершины соединены этим отрезком.
Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. В ABCD диагоналями являются AC и BD. Это название помогает отличать отрезки внутри фигуры от её сторон и удобно при делении четырёхугольника на части.
Четыре звена, соединённые последовательно и замкнутые в контур, образуют четыре участка границы и четыре точки соединения. Если звенья не пересекаются друг с другом вне общих концов, контур ограничивает многоугольник. Поэтому его звенья называют сторонами, а точки соединения — вершинами. У каждого такого угла контура сходятся две соседние стороны.
Чтобы обозначить четырёхугольник, выбирают одну вершину и перечисляют остальные в том порядке, в каком они встречаются при обходе границы. Так, запись ABCD означает, что стороны идут AB, BC, CD и DA. Если перечислять вершины через одну, описание сторон станет неверным, поэтому порядок букв важен. Угол при вершине B можно обозначить ∠ABC: средняя буква показывает вершину угла, а две другие указывают направления его сторон.
У каждой вершины четырёхугольника есть две соседние и одна противоположная вершина. Соседние соединены стороной, поэтому отрезок между ними не считается диагональю. Противоположные вершины соединяет диагональ: для ABCD это пары A и C, B и D. Таких пар всего две, поэтому у четырёхугольника две диагонали.
Если четырёхугольник выпуклый, его диагональ проходит внутри фигуры и соединяет противоположные вершины. Например, диагональ AC разделяет ABCD на части ABC и ACD. В каждой части три стороны, значит, каждая из них является треугольником. Это разбиение позволяет использовать уже известные свойства треугольников для решения задач о четырёхугольнике.
Сумма углов каждого треугольника равна 180°. Диагональ делит внутренние углы четырёхугольника на части, которые становятся углами двух получившихся треугольников; вместе эти части дают все четыре угла исходной фигуры. Поэтому сумма углов четырёхугольника равна 180° + 180° = 360°. Если известны три угла, четвёртый можно найти, вычтя их сумму из 360°.
| Характеристика | Что обозначает | Количество или правило |
|---|---|---|
| Вершины | Точки соединения сторон | 4 |
| Стороны | Отрезки между соседними вершинами | 4 |
| Углы | Углы при вершинах четырёхугольника | 4; сумма внутренних углов — 360° |
| Диагонали | Отрезки между несоседними вершинами | 2 |
| Сумма внутренних углов | Сумма величин четырёх углов | 360° |
| Периметр | Длина границы фигуры | P = сумма длин четырёх сторон |
Используй таблицу, чтобы быстро проверить, все ли элементы ты назвал, и не перепутал ли стороны с диагоналями. Для вычисления неизвестного угла сложи известные углы и вычти результат из 360°. Периметр находят сложением длин всех четырёх сторон.
Задача 1. На рисунке дан четырёхугольник ABCD. Назовите его вершины, стороны, углы и диагонали. Сначала определим порядок букв: ABCD задаёт последовательный обход фигуры по её границе. Значит, пары соседних букв обозначают стороны, а пары несоседних вершин — диагонали.
Ответ: вершины A, B, C, D; стороны AB, BC, CD, DA; углы ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA; диагонали AC и BD. Угол можно записать и иначе, если вершина остаётся средней буквой, например ∠ABC или ∠CBA. Главное — указать именно угол при нужной вершине.
Задача 2. Три угла четырёхугольника равны 75°, 110° и 95°. Найдите четвёртый угол. Сумма всех четырёх углов составляет 360°, значит, сначала найдём сумму известных углов, а затем определим, сколько градусов не хватает до полного значения.
Ответ: четвёртый угол равен 80°. Проверка подтверждает, что вместе все четыре угла дают нужную сумму. Если бы результат оказался отрицательным или известные углы уже превышали 360°, условие задачи потребовало бы проверки.
Задача 3. Стороны четырёхугольника равны 6 см, 8 см, 11 см и 9 см. Найдите его периметр; затем определите неизвестную сторону, если периметр равен 40 см. Периметр — общая длина границы, поэтому в первом случае складываем все четыре стороны. Во втором случае из общего периметра вычитаем длины трёх известных сторон.
Ответ: периметр первого четырёхугольника равен 34 см, неизвестная сторона во второй части равна 15 см. Такая проверка помогает убедиться, что найдена именно длина стороны, а не новый периметр. Все длины в вычислениях выражены в сантиметрах.
Диагональ путают со стороной. Это происходит, если не учитывать, соседние ли вершины соединяет отрезок. Проследи путь по контуру: соседние вершины образуют сторону, а несоседние — диагональ. Например, в ABCD отрезок AB — сторона, а AC — диагональ.
Считают, что диагоналей четыре. Часто ученик соединяет каждую вершину со всеми остальными, включая соседние. Но соединения соседних вершин уже являются сторонами, а диагонали соединяют только противоположные пары. Для проверки выпиши пары вершин: из четырёх возможных пар противоположными будут AC и BD.
Сумму углов принимают за 180°. Это свойство треугольника переносят на четырёхугольник, забывая, что диагональ разделяет его на два треугольника. Каждый даёт 180°, поэтому вместе получается 360°. Проверяй рассуждение, мысленно проводя диагональ и складывая суммы углов обеих частей.
При вычислении периметра складывают не все стороны или путают его с суммой углов. Так случается, когда не записывают полный список сторон или используют правило для углов вместо длин. Перед вычислением выпиши четыре стороны и сложи их длины; результат периметра измеряется в единицах длины, а не в градусах.
До этой темы нужно знать, что такое точка, отрезок, угол, многоугольник, вершина и периметр. Эти понятия помогают распознавать части четырёхугольника и описывать их буквами. Позже они понадобятся при изучении треугольников, параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата. Свойства углов и периметра используются и в задачах о более сложных фигурах.
В повседневной жизни четырёхугольники встречаются в форме окон, столов, деталей и участков. Если измерить стороны предмета или границы участка, можно описать его форму и вычислить длину границы. Такой расчёт помогает, например, оценить, сколько материала нужно для отделки края детали или ограждения участка.
Чем диагональ отличается от стороны?
Сторона соединяет две соседние вершины четырёхугольника, то есть те, между которыми нет другой вершины. Диагональ соединяет несоседние вершины и проходит внутри выпуклого четырёхугольника.
Почему у четырёхугольника именно две диагонали?
У каждой из четырёх вершин есть одна вершина, противоположная ей, и именно такие пары можно соединить диагональю. Получаются отрезки между A и C, а также между B и D; остальные пары вершин соседние и образуют стороны.
Всегда ли сумма углов четырёхугольника равна 360°?
У обычного простого четырёхугольника сумма внутренних углов равна 360°. Диагональ делит его на два треугольника, а сумма углов каждого равна 180°.
Можно ли назвать четырёхугольником фигуру с пересекающимися сторонами?
В школьной геометрии четырёхугольником обычно называют простую замкнутую фигуру, у которой стороны не пересекаются, кроме соседних сторон в общей вершине. Если стороны пересекаются иначе, такая фигура не относится к обычным четырёхугольникам, и привычные правила для её внутренних углов применять нельзя без уточнений.
Как правильно записать название четырёхугольника по его рисунку?
Нужно назвать вершины подряд, обходя фигуру по одной из сторон в выбранном направлении. Например, если вершины идут A, B, C, D, можно записать ABCD; при обходе в обратном направлении получится ADCB.
Урок 11. Четырёхугольник
