Урок 12. Какое число больше? Какое меньше?

Определения и обозначения

Сравнение чисел — установление, какое из двух чисел больше, меньше или они равны. Сравнивать числа значит определить их взаимное положение по величине. Это нужно, чтобы выбирать большее количество, располагать числа по порядку и проверять результаты вычислений.

Знаки сравнения > и < обозначают отношения «больше» и «меньше». Запись 9 > 4 читают «девять больше четырёх», а 4 < 9 — «четыре меньше девяти». Эти знаки помогают коротко записать результат сравнения.

Равенство — запись, в которой два числа имеют одинаковое значение и соединены знаком =. Например, 6 304 = 6 304. Знак равенства показывает, что слева и справа записано одно и то же количество.

Неравенство — запись, в которой числа соединены знаком > или <. Например, 27 > 19 — неравенство, потому что числа имеют разные значения. Такая запись не только показывает результат сравнения, но и читается слева направо.

Как это устроено

На числовом луче числа отмечают слева направо в порядке возрастания. При движении вправо каждая следующая отметка соответствует увеличению числа на единицу, поэтому расстояние от начала луча становится больше. Значит, точка правее связана с большим числом, а точка левее — с меньшим. Например, 5 расположено правее 2, поэтому 5 > 2.

У натуральных чисел количество цифр показывает, сколько разрядов в них есть. Четырёхзначное число начинается от 1000, а любое трёхзначное число не достигает 1000. Поэтому число с большим количеством цифр всегда больше числа с меньшим количеством цифр: 4821 > 936. Сначала нужно определить разрядность, и только потом переходить к сравнению самих цифр.

Если количество цифр одинаковое, сравнение начинают со старшего разряда, то есть с первой цифры слева. Эта цифра показывает наибольшую часть числа, поэтому её различие сразу определяет результат: 7000 > 6000. Если первые цифры совпали, их вклад одинаков, и нужно сравнить следующий разряд. Так постепенно переходят к сотням, десяткам и единицам.

Знак выбирают после того, как установлено, какое число больше. Его широкую сторону обращают к большему числу, а острый угол — к меньшему. Затем запись читают слева направо, не меняя порядок слов: 38 > 12 — «тридцать восемь больше двенадцати». Если первым стоит меньшее число, получится запись вроде 12 < 38.

При перестановке чисел их взаимное положение меняется на противоположное. Если 7 больше 3, то после перестановки верно 3 меньше 7, а не 3 больше 7. Поэтому знак > заменяется на <, и наоборот. Это позволяет получить новую верную запись из уже известного сравнения.

Сравнение чисел и запись результата

Сначала определи, равны ли числа и одинаково ли количество цифр в их записи. Затем выбери строку таблицы, которая подходит к ситуации, и проверь направление знака. После этого прочитай готовую запись слева направо.

Буквы a и b в таблице обозначают любые числа. В конкретном примере их заменяют настоящими числами, а правило определения результата остаётся тем же.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить числа 8 и 13 и записать результат с помощью знака сравнения. У чисел разное количество цифр: 8 — однозначное, а 13 — двузначное. Это уже подсказывает, какое число больше.

1. На числовом луче число 8 расположено левее числа 13, поэтому оно меньше.
2. Можно рассуждать и по количеству единиц: 13 состоит из одного десятка и трёх единиц, а 8 — только из восьми единиц; один десяток равен десяти единицам.
3. Первым записываем 8, поэтому узкая сторона знака должна быть обращена к нему, а широкая — к 13.

Ответ: 8 < 13.

Задача 2. Сравнить числа 4075 и 3986. Оба числа имеют по четыре цифры, поэтому одной разрядностью воспользоваться нельзя. Сравним их одинаковые разряды слева направо.

1. Цифры тысяч: 4 и 3. Уже на первом разряде видно, что 4 тысячи больше 3 тысяч.
2. Дальше сравнивать сотни, десятки и единицы не требуется: старший различающийся разряд определил результат.
3. Так как 4075 стоит первым и оно больше, ставим знак > широкой стороной к 4075.

Ответ: 4075 > 3986.

Задача 3. Вставить знак >, < или =: 52 708 □ 52 780; 6 304 □ 6304; 999 □ 1000. В каждой паре сначала учитываем пробелы в записи: они могут только разделять классы и не изменяют значение числа.

1. В числах 52 708 и 52 780 совпадают десятки тысяч, тысячи и сотни. Сравниваем десятки: 0 меньше 8, поэтому 52 708 < 52 780.
2. Записи 6 304 и 6304 обозначают одно и то же четырёхзначное число; пробел лишь отделяет класс тысяч. Поэтому ставим знак =.
3. Число 999 трёхзначное, а 1000 четырёхзначное. Четырёхзначное число больше, значит 999 < 1000.

Ответ: 52 708 < 52 780; 6 304 = 6304; 999 < 1000.

Типичные ошибки

Путают знаки > и <. Ошибка появляется, когда смотрят на узкий конец, а не на широкую сторону знака. Проверь себя: широкая сторона должна быть обращена к большему числу, например 9 > 2.

Считают большим число с большей последней цифрой. Так делают, забывая, что десятки, сотни и тысячи важнее единиц. Сначала сравни старшие разряды: например, 401 > 398, хотя последняя цифра у 401 меньше.

Сравнивают многозначные числа только по количеству цифр. Количество цифр помогает лишь тогда, когда оно разное; при одинаковой разрядности нужно идти слева направо. Для проверки найди первый разряд, где цифры различаются.

Не меняют знак при перестановке чисел. Из 7 > 3 нельзя получить 3 > 7, потому что порядок величин изменился. Перечитай новую запись: правильный вариант — 3 < 7.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать натуральный ряд чисел, разряды и классы, а также уметь ориентироваться на числовом луче. Эти знания объясняют порядок чисел и помогают сравнивать многозначные записи.

Дальше сравнение понадобится при решении неравенств, упорядочивании чисел и проверке результатов вычислений. Умение находить большее и меньшее число делает такие задания понятнее.

В жизни сравнивают расстояния, количество предметов, цены и результаты измерений. Например, знак сравнения помогает быстро определить, какой маршрут длиннее или какой товар дешевле.

Что запомнить

• Число, расположенное на числовом луче правее, больше числа, расположенного левее.
• Знак > означает «больше», а знак < — «меньше».
• Равные числа соединяют знаком =.
• Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше цифр.
• Если цифр поровну, числа сравнивают слева направо.
• Знак ставят широкой стороной к большему числу.
• При перестановке чисел знак > или < меняется на противоположный.