Урок 22. Задачи с несколькими вопросами

Определения и обозначения

Задача с несколькими вопросами — задача, в условии которой требуется найти ответы на два или более вопроса. Например, можно сначала узнать общее количество предметов, а затем выяснить, сколько их осталось. Это название помогает заметить, что решение не закончится после первого вычисления: нужно вернуться к условию и проверить, на все ли вопросы дан ответ.

Промежуточный вопрос — вопрос, ответ на который нужен для решения следующей части задачи. Например, прежде чем узнать, сколько яблок осталось после раздачи, нужно выяснить, сколько яблок было сначала. Ответ на первый вопрос здесь служит промежуточным результатом. Понимание этой связи помогает не пытаться вычитать число из величины, которую ещё не нашли.

Цепочка решения — последовательность действий, где результат одного действия используется для ответа на следующий вопрос. Каждое действие в такой цепочке связано с предыдущим и готовит данные для дальнейшего шага. Это понятие нужно, чтобы планировать решение по порядку и видеть, откуда берётся каждое число. Запись цепочки также облегчает проверку: можно проследить путь от известных данных до ответов.

Как это устроено

Перед вычислениями прочитай условие и все вопросы целиком. Если остановиться после первой фразы или сразу начать считать, можно не заметить, что задача требует ещё одного ответа, или выбрать данные, которые не относятся к нужному вопросу. Полный текст показывает, какие величины даны и к чему нужно прийти. Тогда проще понять, какие сведения понадобятся для каждого шага.

Чтобы определить, связаны ли вопросы, подумай, нужна ли для ответа на один из них величина, которой пока нет среди известных данных. Если её требуется вычислить, значит, сначала нужно ответить на промежуточный вопрос. Например, остаток нельзя найти, пока неизвестно начальное количество предметов. Такая зависимость показывает, почему отдельные вопросы иногда нельзя решать в любом порядке.

Порядок решения составляют от известного к неизвестному. Сначала выбирай вопрос, для которого уже хватает данных условия, и выполни нужное действие; затем используй полученное число для следующего вопроса. Так не приходится угадывать неизвестную величину или подставлять вместо неё неподходящее число. План по шагам помогает сохранить смысл вычислений даже в длинной задаче.

Полезно записывать действие рядом с вопросом, на который оно отвечает. Тогда видно, почему выбран именно этот способ вычисления и к какой части задачи относится результат. Если записать только несколько чисел и знаков подряд, их смысл легко перепутать, особенно когда одно значение используется дальше. Такая запись помогает также проверить, что решение охватывает каждый вопрос.

Проверяя решение, сопоставь каждый полученный ответ с соответствующим вопросом и оцени, правдоподобны ли числа. Например, остаток не может быть больше начального количества, если ничего не добавляли. Затем проверь, что промежуточный результат перенесён в следующее действие без ошибки и имеет нужный смысл. Проверка не заменяет вычисления, но помогает обнаружить пропуск или неверный порядок действий.

Как разбирать задачу с несколькими вопросами

Пользуйся таблицей сверху вниз: каждый этап подсказывает, что сделать до перехода к следующему. В графе «Что записать» фиксируй не только числа, но и смысл найденных величин. Если выяснится, что для ответа не хватает значения, вернись к плану и найди, какой вопрос поможет его получить.

Разбор задач

Задача 1. В одной коробке 16 красных карандашей и 9 синих. Сколько карандашей в коробке? На сколько красных карандашей больше, чем синих? Вопросы относятся к тем же данным, но требуют найти разные величины: общее количество и разность. Поэтому решим их отдельно.

1. Чтобы узнать, сколько карандашей всего, сложим количество красных и синих: 16 + 9 = 25 карандашей.
2. Чтобы выяснить, на сколько красных карандашей больше, найдём разность: 16 − 9 = 7 карандашей.

Ответ: в коробке 25 карандашей; красных на 7 больше, чем синих. Обрати внимание, что сложение отвечает на вопрос об общем количестве, а вычитание — о сравнении. Для этих двух вычислений не нужно использовать результат первого действия.

Задача 2. В 5 пакетах лежит по 8 яблок. 13 яблок раздали. Сколько яблок было сначала? Сколько яблок осталось? Чтобы найти остаток, сначала необходимо узнать начальное количество яблок: его в условии не сообщают напрямую, но можно найти по числу пакетов и яблок в каждом пакете.

1. Найдём, сколько яблок было во всех пакетах: 5 · 8 = 40 яблок.
2. Используя найденное количество, вычислим остаток после раздачи: 40 − 13 = 27 яблок.

Ответ: сначала было 40 яблок; осталось 27 яблок. Результат первого действия — 40 — стал промежуточным для второго. Если пропустить его и вычесть 13 из числа пакетов или из количества яблок в одном пакете, ответ не будет иметь смысла.

Задача 3. Для школьной выставки приготовили 4 набора по 18 открыток и ещё 27 открыток. 35 открыток разместили на стенде. Сколько открыток приготовили всего? Сколько открыток осталось неразмещёнными? Здесь для ответа на второй вопрос понадобятся две части: сначала открытки из наборов и дополнительные открытки, затем общее количество приготовленных открыток.

1. Найдём количество открыток в наборах: 4 · 18 = 72 открытки.
2. Прибавим ещё 27 открыток: 72 + 27 = 99 открыток приготовили всего.
3. Вычтем количество открыток на стенде: 99 − 35 = 64 открытки остались неразмещёнными.

Ответ: всего приготовили 99 открыток; неразмещёнными остались 64 открытки. В этой цепочке результат умножения нужен для сложения, а результат сложения — для вычитания. По шагам видно, что сначала нашли общее количество приготовленных открыток и только после этого определили остаток.

Типичные ошибки

Иногда решают только первый вопрос и считают задачу законченной. Такое случается, если после первого найденного числа ученик перестаёт перечитывать условие. Проверь себя: подчеркни или пересчитай вопросы и поставь напротив каждого соответствующий ответ.

Другая ошибка — начинать вычисления, не выяснив порядок вопросов. Тогда можно попытаться использовать величину, которой ещё нет, или выбрать действие не по смыслу задачи. Сначала назови, что нужно найти для каждого ответа, и отметь, какие данные уже известны. Если для шага требуется результат предыдущего вычисления, поставь его раньше в плане.

Промежуточный результат иногда забывают использовать дальше или заменяют другим числом. Это происходит, когда числа записаны без пояснений и легко перепутать, что именно они обозначают. Подписывай результаты словами, например «всего было 40 яблок», и проверяй, совпадает ли смысл числа со следующим действием. Так проще заметить неверную подстановку.

Можно записать одно общее число без пояснения, к какому вопросу оно относится. Тогда непонятно, решены ли обе части задачи и какой результат является ответом на каждый вопрос. Записывай ответы по порядку и формулируй их словами. При проверке соедини каждый ответ с тем вопросом, на который он отвечает.

Связь с другими темами

Для решения задач с несколькими вопросами нужно уметь выделять данные и вопрос задачи, выбирать арифметическое действие и выполнять вычисления. Если эти умения уже знакомы, их можно применить к каждой части условия отдельно. Новая трудность состоит не в самих действиях, а в том, чтобы связать их в подходящем порядке.

Умение выстраивать последовательность действий пригодится при решении составных задач, где ответ получают за несколько шагов. Оно также помогает записывать решение выражением: порядок вычислений в выражении отражает, как связаны величины. Понимание цепочки действий позволяет объяснить, почему одно действие выполняется раньше другого.

Что запомнить

• Внимательно прочитай все вопросы задачи.
• Определи, какие ответы связаны между собой.
• Начинай с вопроса, для которого достаточно известных данных.
• Используй найденные промежуточные результаты дальше.
• Каждому вопросу должен соответствовать ответ.
• Проверь порядок действий и смысл полученных чисел.