"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Положение предмета описывают не само по себе, а относительно наблюдателя, другого предмета или выбранной точки отсчёта. Для этого используют слова «слева», «справа», «выше», «ниже», «между», а на координатной прямой — числа. Главное — заранее указать ориентир, начало отсчёта и положительное направление. Тогда положение можно описать точно и однозначно, а точку с заданной координатой — быстро найти на прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Положение предмета — это место, где он находится относительно выбранного наблюдателя или других предметов. Например, мяч может быть справа от стула и слева от шкафа одновременно. Это понятие нужно, чтобы точно описывать расположение предметов, а не просто называть их место.
Ориентир — предмет или место, относительно которого описывают положение другого предмета. Ориентиром могут быть стол, дерево, дверь, точка на линии или начало отсчёта. Если назвать ориентир, становится понятно, с чем сравнивают положение предмета.
Направление — указание, в какую сторону расположен предмет относительно ориентира. Для этого используют слова «слева», «справа», «выше», «ниже», «перед», «за» и «между». Направление помогает уточнить взаимное расположение двух объектов.
Координата точки — число, которое задаёт положение точки на координатной прямой. Она показывает не только удалённость от начала отсчёта, но и сторону, на которой находится точка. Поэтому координата может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
Положение нельзя описать однозначно без наблюдателя или ориентира, потому что одно и то же слово может указывать на разные стороны. Например, предмет, находящийся слева от человека, окажется справа, если смотреть на него с другой стороны. Ориентир задаёт общую точку сравнения, поэтому описание становится понятным для всех.
Расположение описывают словами «слева», «справа», «выше», «ниже» и «между», но рядом нужно назвать ориентир. Можно сказать: «книга лежит справа от лампы» или «мяч находится между стулом и столом». Отсчёт ведут от указанного ориентира, иначе неизвестно, относительно чего определено направление.
Чтобы задать положение точки числом, на прямой выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Начало отсчёта обозначают числом 0, а единичный отрезок задаёт, сколько места соответствует одной единице. Обычно положительное направление показывают стрелкой вправо, но его можно выбрать и иначе.
Координату точки находят по числу единичных отрезков от нуля и по направлению движения. Если точка расположена в положительном направлении на три единицы, её координата равна 3; если в противоположном направлении на две единицы — −2. Чтобы найти точку по координате, отсчитывают от нуля нужное количество единичных отрезков в соответствующую сторону.
При изменении ориентира или направления отсчёта меняется способ описания положения. Та же точка может получить другое число, если начало отсчёта перенести или положительное направление направить в противоположную сторону. Предмет при этом физически не перемещается: изменяется только система, с помощью которой его описывают.
| Способ | Что нужно задать | Как описывают положение | Пример |
|---|---|---|---|
| Относительно наблюдателя | Кто смотрит и где он находится | Указывают положение с точки зрения наблюдателя | Дерево находится слева от меня |
| Относительно ориентира | Предмет или место для сравнения | Называют взаимное расположение двух объектов | Книга справа от лампы |
| С помощью направления | Ориентир и сторону расположения | Используют слова «слева», «справа», «выше», «ниже», «между» | Мяч ниже стола |
| На координатной прямой | Начало отсчёта, единичный отрезок и направление | Задают положение числом — координатой | Точка B имеет координату −2 |
Сначала определите, относительно чего нужно описать предмет, а затем выберите подходящий способ. Для простых ситуаций достаточно словесного описания, а для точной работы с числами используют координатную прямую. Проверяйте, назван ли ориентир и понятно ли, откуда начинается отсчёт.
Условие: Опиши, где находится книга относительно лампы, если книга лежит справа от неё. Здесь уже назван ориентир — лампа, поэтому остаётся указать направление.
Ответ: книга находится справа от лампы. Если смотреть с другой стороны, слова «справа» и «слева» могут измениться, поэтому ориентир и точку зрения нельзя опускать.
Условие: На координатной прямой отметь точки с координатами 3 и −2. Для построения нужны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление.
Ответ: точка 3 расположена справа от нуля, а точка −2 — слева от нуля. Расстояния до начала отсчёта равны соответственно 3 и 2 единицам.
Условие: Точка A расположена на 4 единицы левее начала отсчёта. Нужно найти её координату и понять, что произойдёт при выборе противоположного положительного направления.
Ответ: при первоначальном направлении координата точки A равна −4. При противоположном направлении, если начало отсчёта и единичный отрезок сохраняются, координата этой же точки будет 4.
Ошибка — говорить «слева» или «справа», не называя наблюдателя или ориентир. Её допускают, потому что в обычной разговорной ситуации ориентир иногда понятен из контекста. Проверьте себя: задайте вопрос «слева от кого или от чего?» и добавьте ответ в описание.
Ошибка — считать, что координата определяется только расстоянием до начала отсчёта. Так происходит, когда забывают, что две точки на одинаковом расстоянии от нуля могут находиться по разные стороны. Сравните направление от нуля: оно определяет знак координаты.
Ошибка — поставить отрицательную координату справа от начала отсчёта. Обычно это случается, если ученик не посмотрел, куда направлена стрелка положительного направления. Сначала найдите стрелку, а затем откладывайте отрицательное число в противоположную сторону.
Ошибка — путать координату с расстоянием до начала отсчёта. Расстояние показывает только величину удаления и не бывает отрицательным, а координата дополнительно содержит знак. Для проверки спросите себя, нужно ли указать сторону расположения точки.
До изучения этой темы нужно уметь сравнивать взаимное расположение предметов и измерять отрезки. Эти навыки помогают понять направления «слева», «справа», «ближе», «дальше» и откладывать единичные отрезки на прямой.
Координатная прямая понадобится при изучении положительных и отрицательных чисел, их сравнении и решении уравнений. Она превращает положение числа в точку, а положение точки — в числовую запись.
Почему недостаточно сказать, что предмет находится слева?
Нужно уточнить, слева от кого или от чего находится предмет. Направление зависит от наблюдателя и выбранного ориентира, поэтому без них описание может быть непонятным.
Что нужно выбрать, чтобы определить координату точки?
На координатной прямой выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. После этого положение точки можно выразить числом.
Как найти точку на прямой, если её координата отрицательная?
От начала отсчёта нужно двигаться в сторону, противоположную положительному направлению. Число единичных отрезков равно модулю координаты.
Может ли у одной и той же точки измениться координата?
Да, если изменить начало отсчёта или положительное направление. Сама точка останется на месте, но её описание в новой системе может стать другим.
Чем координата отличается от расстояния?
Расстояние показывает, насколько точка удалена от начала отсчёта, и не бывает отрицательным. Координата учитывает ещё и направление, поэтому может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
Урок 4. Где находится предмет?
