"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Площадь прямоугольника показывает, сколько места занимает его внутренняя часть на плоскости. Она нужна, например, чтобы узнать, сколько плитки потребуется для пола или сколько бумаги занимает рисунок. Для вычисления площади достаточно знать длины двух соседних сторон: их перемножают. Результат записывают в квадратных единицах, потому что площадь измеряет не длину, а количество единичных квадратов, которыми можно покрыть фигуру.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь — величина, которая показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Её обозначают буквой S и измеряют квадратными единицами: например, квадратными сантиметрами (см²) или квадратными метрами (м²). Площадь помогает сравнивать фигуры по размеру их внутренней части. Она не говорит о длине границы фигуры — для этого используют периметр.
Площадь прямоугольника — количество единичных квадратов, которыми можно покрыть его внутреннюю часть без промежутков и наложений. Если длины соседних сторон обозначить буквами a и b, то площадь находят по формуле S = a · b. Такая запись нужна, чтобы коротко выражать правило вычисления и подставлять в него известные длины. Результат записывают в квадратных единицах, например см², а не просто в сантиметрах.
Представь прямоугольник, стороны которого имеют целое число сантиметров, и раздели его на квадраты со стороной 1 см. В каждом ряду окажется столько квадратов, сколько сантиметров составляет одна сторона прямоугольника. Число рядов равно длине другой стороны. Поэтому общее количество маленьких квадратов получается умножением числа квадратов в ряду на число рядов, то есть S = a · b.
Например, при сторонах 4 см и 3 см в каждом ряду помещается 4 квадратных сантиметра, а рядов всего 3. Значит, прямоугольник покрывают 4 · 3 = 12 таких квадратов, и его площадь равна 12 см². Это объясняет, почему для площади используют квадратную единицу: каждый элемент покрытия имеет форму квадрата со стороной 1 см. Если стороны измерены в метрах, результат будет выражен в квадратных метрах.
Перемножать нужно длины двух соседних сторон, потому что они задают ширину ряда и число рядов. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому брать можно любую пару соседних сторон. Если стороны назвать наоборот, произведение не изменится: a · b = b · a. Значит, перестановка длины и ширины не влияет на площадь.
Перед вычислением проверь единицы измерения. Если одна сторона дана в сантиметрах, а другая — в метрах, сначала переведи их в одинаковые единицы: иначе числа относятся к разным меркам и произведение не даст правильной площади. Например, 2 м можно заменить на 200 см, а затем умножать обе длины, выраженные в сантиметрах. После вычисления квадратную единицу выбирают по тем единицам, в которых были записаны стороны.
Формулу можно использовать и в обратную сторону, когда площадь известна, а одна сторона неизвестна. Если S = a · b, то неизвестную сторону находят делением площади на известную сторону: b = S : a. Например, при площади 24 см² и стороне 6 см вторая сторона равна 24 : 6 = 4 см. Деление позволяет проверить, какой длины должна быть сторона прямоугольника с заданной площадью.
| Что известно | Как вычислить | Единицы результата |
|---|---|---|
| Стороны a и b | S = a · b | Квадратные единицы |
| Площадь S и сторона a | b = S : a | Единицы длины |
| Стороны в разных единицах | Сначала привести к одной единице | Квадратные единицы выбранной мерки |
Сначала найди в таблице, какие величины известны, и выбери соответствующую запись. Если стороны выражены по-разному, выполни перевод до подстановки чисел. В ответе обязательно укажи единицу: квадратную для площади и обычную для длины стороны.
Задача. Длина прямоугольной комнаты равна 5 м, а ширина — 3 м. Сколько квадратных метров пола нужно покрыть? Здесь известны две соседние стороны, поэтому можно сразу применить формулу площади. Важно записать ответ в квадратных метрах: речь идёт о поверхности пола, а не о длине его края.
Обозначим длину комнаты через a, а ширину через b. Получаем a = 5 м и b = 3 м. Обе величины уже выражены в метрах, поэтому переводить их не нужно.
Запишем формулу площади прямоугольника: S = a · b. Подставим значения: S = 5 · 3. Умножаем, потому что пять метров задают длину ряда условных квадратных метров, а три метра — число таких рядов.
Вычислим произведение: 5 · 3 = 15. При умножении метров на метры получаем квадратные метры, поэтому результат измеряется в м². Это соответствует тому, что пол можно мысленно покрыть квадратами со стороной 1 м.
Ответ: площадь пола равна 15 м². Значит, для покрытия всей поверхности потребуется материал, рассчитанный на 15 квадратных метров, если не учитывать запас и отходы. Проверить вычисление можно обратным действием: 15 : 5 = 3, что совпадает с шириной комнаты.
Ещё одна задача. Площадь прямоугольной открытки равна 48 см², а одна её сторона — 8 см. Чтобы найти вторую сторону, не нужно снова умножать известные величины: площадь уже дана. Из формулы S = a · b выразим неизвестную длину делением: b = S : a.
Подставим известные значения: b = 48 : 8. Делим площадь на длину известной стороны, чтобы узнать, сколько сантиметров приходится на другую сторону.
Выполним деление: 48 : 8 = 6. Единица результата — сантиметры, поскольку искали длину стороны, а квадратные сантиметры в формуле разделили на сантиметры.
Проверим ответ умножением найденной стороны на известную: 8 · 6 = 48 см². Получили исходную площадь, значит, вычисление согласуется с формулой.
Ответ: вторая сторона открытки равна 6 см. В обеих задачах ход решения определяется тем, что именно неизвестно: площадь находят умножением, а сторону — делением. Проверка обратным действием помогает заметить ошибку до записи ответа.
Записывают площадь в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах. Так происходит, когда результат воспринимают как обычную длину и не связывают его с единичными квадратами. Проверь себя: у площади должны быть квадратные единицы, например см² или м².
Умножают стороны, выраженные в разных единицах. Можно не заметить, что одно число дано в метрах, а другое — в сантиметрах, и выполнить вычисление напрямую. Перед умножением сведи обе длины к одной мерке, а затем укажи соответствующую квадратную единицу.
Путают площадь с периметром. Для обеих величин используют стороны фигуры, поэтому иногда складывают длины, хотя требуется площадь. Посмотри, что спрашивает задача: площадь находят умножением соседних сторон и измеряют квадратными единицами, а периметр — сложением длин сторон.
При известной площади снова умножают стороны. Это случается, когда формулу вспоминают, но не замечают, что неизвестна именно сторона. Вырази её из равенства S = a · b и проверь результат обратным умножением на известную сторону.
Площадь прямоугольника использует умножение натуральных чисел и десятичных дробей, поэтому навыки вычислений помогают быстрее решать задачи. Перевод единиц длины связан с метрической системой, а перевод квадратных единиц требует учитывать, что меняется не одна длина, а площадь: 1 м² = 10 000 см². Понятие площади пригодится при изучении площадей других фигур, которые часто разбивают на прямоугольники. Не путай его с периметром: эти величины описывают разные свойства одной фигуры.
Площадь прямоугольника находят по формуле S = a · b, где a и b — длины соседних сторон.
Площадь измеряют квадратными единицами: см², м² и другими.
Перед вычислением приведи длины к одинаковым единицам.
Если известны площадь и одна сторона, другую находят делением: b = S : a.
37. Площадь прямоугольника
