13. Трёхзначные числа

Определения и обозначения

Трёхзначное число — число, в записи которого три цифры, причём первая слева не равна нулю. Например, 306 и 999 — трёхзначные, а 057 — нет: запись числа с нулём впереди обозначает число 57. Это определение помогает отличать разрядность числа от простого количества знаков, которыми его записали.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение: единицы, десятки или сотни. Например, в числе 444 цифры одинаковы, но первая слева означает 4 сотни, следующая — 4 десятка, последняя — 4 единицы. Понятие разряда нужно, чтобы понимать, какое количество обозначает каждая цифра.

Разрядная единица — единица, десяток или сотня. Десяток равен 10 единицам, а сотня — 10 десяткам, то есть 100 единицам. Эти связи позволяют переводить число из одной формы в другую и понимать, почему цифра в разряде сотен обозначает больше, чем такая же цифра в разряде единиц.

Разрядный состав числа — количество сотен, десятков и единиц, из которых складывается число. Так, 472 состоит из 4 сотен, 7 десятков и 2 единиц. Разрядный состав связывает запись числа с его величиной и помогает составлять число или раскладывать его на части.

Как это устроено

Трёхзначные числа начинаются с 100, потому что двузначная запись вмещает только десятки и единицы: самое большое такое число — 99. Чтобы показать одну сотню, нужна третья цифра, поэтому 100 уже записывается тремя знаками. Последнее трёхзначное число — 999, где в каждом разряде стоит наибольшая цифра 9. Следующее число, 1000, требует нового разряда тысяч и четырёх цифр.

Значение цифры зависит от места, потому что каждый следующий разряд слева в десять раз крупнее предыдущего. Цифра 4 справа обозначает 4 единицы, в середине — 4 десятка, а слева в трёхзначной записи — 4 сотни. Поэтому 4, 40 и 400 — разные значения одной и той же цифры. При чтении и вычислениях нужно учитывать не только саму цифру, но и её разряд.

Чтобы прочитать или записать число по разрядному составу, сначала называют сотни, затем десятки и единицы. Например, запись 306 означает 3 сотни, 0 десятков и 6 единиц; её читают «триста шесть». Ноль сохраняет место десятков: без него запись 36 обозначала бы совсем другое число. Если один разряд пуст, в нём ставят ноль, чтобы цифры соседних разрядов не сдвинулись.

Трёхзначное число можно представить суммой разрядных слагаемых — значений его сотен, десятков и единиц. Например, 472 = 400 + 70 + 2: четыре сотни дают 400, семь десятков — 70, две единицы — 2. Если в разряде стоит ноль, соответствующее слагаемое равно нулю и его обычно не записывают: 306 = 300 + 6. Такое разложение наглядно показывает состав числа и помогает выполнять вычисления.

Сравнивать трёхзначные числа нужно слева направо, потому что сотни важнее десятков и единиц. Сначала сравнивают цифры сотен: если они различаются, число с большей цифрой сотен больше независимо от остальных цифр. При одинаковых сотнях сравнивают десятки, а к единицам переходят только при равных сотнях и десятках. Такой порядок позволяет сравнить числа, не пытаясь оценивать все цифры одновременно.

Разряды трёхзначного числа

Таблица показывает, как место цифры связано с разрядной единицей и значением цифры 4. Отсчёт места ведётся справа налево: первая позиция — единицы, вторая — десятки, третья — сотни. Пользуйся таблицей, чтобы разложить запись числа по разрядам и не путать цифру с её значением.

Разбор задач

Задача 1. Прочитайте число 306 и укажите, сколько в нём сотен, десятков и единиц. Важно не пропустить разряд, где записан ноль: он показывает отсутствие десятков, а не отсутствие самой позиции. Разберём запись справа налево, чтобы точно определить значение каждой цифры.

1. В числе 306 три цифры, и первая слева — 3 — стоит в разряде сотен. Значит, число содержит 3 сотни.
2. Вторая цифра — 0 — занимает разряд десятков. Поэтому десятков в числе нет, но место десятков отмечено нулём.
3. Последняя цифра — 6 — стоит в разряде единиц, значит, число содержит 6 единиц. Читаем число как «триста шесть».

Ответ: 306 — это 3 сотни, 0 десятков и 6 единиц; число читается «триста шесть».

Задача 2. Запишите цифрами число: 5 сотен, 2 десятка и 8 единиц. Представьте его суммой разрядных слагаемых. Разрядные количества нужно поставить каждое на своё место, а затем заменить их значениями, чтобы получить сумму.

1. Сотни занимают третье место справа, поэтому цифра сотен — 5. Это первая цифра записи.
2. На втором месте справа, в разряде десятков, ставим 2. На первом месте, в разряде единиц, ставим 8.
3. Получаем число 528. Пять сотен дают 500, два десятка — 20, восемь единиц — 8; складываем эти значения.

Ответ: 528; 528 = 500 + 20 + 8.

Задача 3. Сравните числа 407 и 398, а затем 562 и 568. Сравнение начинаем с разряда сотен, поскольку он определяет крупные части числа. К следующему разряду переходим только тогда, когда цифры в предыдущем совпадают.

1. Для 407 и 398 сравниваем сотни: 4 больше 3. Значит, 407 больше 398, и цифры десятков и единиц уже не меняют результат.
2. Для 562 и 568 сотни равны: в обоих числах по 5 сотен. Поэтому сравниваем десятки: в обоих числах по 6 десятков.
3. Сотни и десятки совпали, значит, сравниваем единицы. Так как 2 меньше 8, число 562 меньше 568.

Ответ: 407 > 398; 562 < 568.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что в числе 306 нет десятков. Ноль действительно показывает отсутствие десятков, но он остаётся цифрой на месте этого разряда. Такую ошибку допускают, когда путают количество десятков с количеством цифр в записи. Проверь себя: назови три позиции справа налево — единицы, десятки, сотни — и прочитай цифру в каждой.

Ошибка: прочитать 306 как «тридцать шесть». Так получается, если соединить цифры, не учитывая их места: тогда 3 ошибочно принимают за число десятков. Причина ошибки — внимание только к цифрам, а не к разрядам. Проверь чтение, разложив число: 306 = 300 + 6, значит, это «триста шесть».

Ошибка: записать 5 сотен, 2 десятка и 8 единиц как 5280. Количество разрядных единиц не приписывают к цифрам вместе с нулями: каждое количество становится цифрой на своём месте. Такая запись возникает, если перепутать название разряда с числом, которое нужно записать. Проверь себя по позициям: сотни — 5, десятки — 2, единицы — 8, значит, получается 528.

Ошибка: сравнить трёхзначные числа только по последней цифре. Единицы учитывают лишь тогда, когда совпали сотни и десятки, иначе меньший разряд не определяет порядок чисел. Ошибку допускают, когда сравнение сводят к взгляду на знакомые цифры без учёта их веса. Проверь решение по очереди: сотни, затем десятки и только потом единицы.

Связь с другими темами

Для работы с трёхзначными числами нужны умения читать и записывать двузначные числа, понимать состав числа и знать, что десяток равен десяти единицам. На этой основе строится переход к сотням: одна сотня содержит десять десятков. Разрядный состав пригодится при сложении и вычитании трёхзначных чисел, устных вычислениях и решении задач на сравнение. Умение раскладывать число на сотни, десятки и единицы помогает вычислять по частям и проверять запись.

Что запомнить

• Трёхзначные числа — от 100 до 999.
• В записи трёхзначного числа первая цифра не равна нулю.
• Справа налево идут разряды единиц, десятков и сотен.
• Цифра показывает количество единиц того разряда, в котором она стоит.
• Ноль обозначает отсутствие единиц соответствующего разряда.
• Число можно разложить на сотни, десятки и единицы.
• При сравнении сначала рассматривают разряд сотен.