12. Тысяча

Определения и обозначения

Тысяча — натуральное число, равное десяти сотням и записываемое цифрами 1000. В ряду натуральных чисел оно следует за 999 и предшествует 1001. Это обозначение помогает перейти от счёта сотнями к числам, в которых есть разряд тысяч.

Единица тысячи — разрядная единица, в десять раз большая сотни. Одна единица тысячи равна 1000 единицам, поэтому число 3000 содержит три единицы тысячи. Понимание этой связи помогает определять, сколько единиц каждого разряда заключено в числе.

Класс тысяч — группа из трёх разрядов, расположенная слева от класса единиц. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Такое объединение упорядочивает запись больших чисел и облегчает их чтение: группы по три цифры не приходится считать по одной.

Разряд числа — позиция цифры в записи, определяющая её значение. В рассматриваемых классах это единицы, десятки и сотни, а также единицы, десятки и сотни тысяч. Одна и та же цифра в разных разрядах означает разное количество, поэтому позицию каждой цифры нужно учитывать.

Как это устроено

Когда считают по порядку, после 999 нужно прибавить одну единицу. В записи 999 уже заняты девять единиц, девять десятков и девять сотен, поэтому прибавленная единица запускает переходы между разрядами: десять единиц дают один десяток, а десять десятков — одну сотню. Получаются десять сотен, которые образуют одну тысячу; поэтому следующее число записывают как 1000. Так сохраняется правило, что каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего.

Десять сотен составляют тысячу потому, что разрядная система основана на группировке по десять. Десять единиц объединяют в один десяток, десять десятков — в одну сотню, а десять сотен — в одну тысячу. При каждом таком переходе число групп становится в десять раз меньше, но каждая группа включает в десять раз больше единиц. Значит, 10 × 100 = 1000, и одна тысяча содержит 1000 отдельных единиц.

В записи 1000 цифра 1 стоит на четвёртом месте справа, то есть в разряде единиц тысяч. Она обозначает одну тысячу, или 1000 единиц. Три нуля стоят в разрядах сотен, десятков и единиц: они показывают, что дополнительных сотен, десятков и отдельных единиц нет. Если убрать эти нули, положение единицы изменится или запись перестанет показывать число правильно.

Числа с тысячами удобно читать и записывать по классам: запись мысленно разделяют на группы по три цифры, двигаясь справа налево. Сначала называют класс тысяч, а затем класс единиц; например, 4 307 читают «четыре тысячи триста семь». Пробел между классами облегчает чтение, но в самой записи он не меняет значение числа. Если в одном из разрядов нет единиц, для него ставят ноль: в 4 307 ноль сохраняет пустой разряд десятков.

Чтобы сравнить числа с тысячами, сначала сопоставляют цифры их старших разрядов, потому что именно они задают наибольшие части чисел. Если цифры единиц тысяч различаются, число с большей цифрой в этом разряде больше, и сравнивать младшие разряды уже не нужно. Если старшие разряды совпали, сравнивают следующие разряды по порядку, пока не встретят разные цифры. Например, у 27 408 и 27 480 совпадают десятки тысяч, единицы тысяч и сотни, но в разряде десятков 0 меньше 8, поэтому 27 408 < 27 480.

Разрядный состав чисел до миллиона

В таблице показан разрядный состав числа 582 614: каждый разряд соответствует своему количеству единиц. Сначала найди класс, затем разряд внутри него и посмотри, какой вклад цифра этого разряда вносит в число. Например, цифра 8 в десятках тысяч обозначает 80 000 единиц.

Разбор задач

Задача 1. Запишите число, которое на единицу больше 999, и прочитайте его. Нужно найти следующее натуральное число, поэтому к данному числу прибавляем 1. При переходе через границу разрядов проверяем, во что объединяются десять сотен.

1. Запишем действие: 999 + 1.
2. Прибавленная единица завершает переход через девять сотен, девять десятков и девять единиц; десять сотен объединяются в одну тысячу.
3. Получаем 1000. В записи единица стоит в разряде тысяч, а остальные разряды обозначены нулями.

Ответ: 1000, одна тысяча.

Задача 2. Запишите цифрами число: четыре тысячи триста семь. Сначала определим количество тысяч, затем число сотен, десятков и единиц. Отсутствие десятков нужно обозначить нулём, иначе соседние разряды окажутся на неправильных местах.

1. Четыре тысячи записываем в классе тысяч как 4, а класс единиц должен показать 307.
2. В числе 307 есть 3 сотни, 0 десятков и 7 единиц, поэтому класс единиц записываем именно так: 307.
3. Соединяем классы, оставляя между ними пробел для удобства чтения: 4 307.

Ответ: 4 307.

Задача 3. Сравните числа 27 408 и 27 480 и объясните ответ. Чтобы не отвлекаться на младшие цифры раньше времени, начинаем с самого старшего разряда и продвигаемся вправо. Пока цифры одинаковые, они не определяют, какое число больше.

1. Сравниваем десятки тысяч: в обоих числах стоит 2, значит, пока они равны.
2. Сравниваем единицы тысяч: в обоих числах стоит 7; затем сравниваем сотни, где в обоих случаях стоит 4.
3. Переходим к десяткам: в первом числе стоит 0, во втором — 8. Так как 0 < 8, первое число меньше второго.

Ответ: 27 408 < 27 480.

Типичные ошибки

Записывают названные тысячи и единицы подряд, забывая нули. Например, «четыре тысячи семь» ошибочно могут записать как 47, хотя между классами нужно сохранить разряды. Ошибка возникает, если ориентироваться только на произнесённые цифры. Проверь себя, называя отдельно сотни, десятки и единицы в классе единиц; правильная запись — 4 007.

Читают число без разделения на классы. Тогда легко перепутать число тысяч и неверно назвать всё число, особенно если в записи много цифр. Причина — попытка читать цифры подряд, не замечая их группировки. Раздели запись справа налево на тройки и сначала прочитай класс тысяч, например 27 408 — «двадцать семь тысяч четыреста восемь».

Считают, что нули в записи 1000 не имеют значения. Нули показывают, что в разрядах сотен, десятков и единиц нет соответствующих единиц; без них запись перестанет верно передавать число. Эту ошибку допускают, принимая ноль за ненужный знак, а не за указатель пустого разряда. Проверь разрядный состав: в 1000 одна тысяча и ни одной сотни, десятка или единицы.

Сравнивают числа по последним цифрам. Последние цифры могут быть разными, но они не показывают, какое число больше, если старшие разряды отличаются. Ошибка возникает, когда начинают сравнение справа, хотя наибольшую часть числа задают старшие разряды. Проверяй себя так: двигайся слева направо и остановись на первом различии — именно оно определяет результат.

Связь с другими темами

Перед изучением тысяч нужно уметь раскладывать трёхзначное число на сотни, десятки и единицы, а также читать и записывать такие числа. Этот навык переносится на новые разряды: к знакомому классу единиц добавляется класс тысяч. Далее разрядный состав понадобится при работе с многозначными числами, их округлении и выполнении арифметических действий. Если понимать значение каждой позиции, проще оценивать число и замечать ошибки в вычислениях.

Что запомнить

• Десять сотен составляют одну тысячу.
• Одна тысяча равна 1000 единицам.
• В числе 1000 цифра 1 стоит в разряде единиц тысяч.
• Классы в записи числа отсчитывают справа налево, по три разряда.
• Нули в записи числа обозначают пустые разряды.
• При сравнении чисел сначала сравнивают цифры старших разрядов.