Линии: прямая и кривая

Определения и обозначения

Линия — геометрический объект, состоящий из точек и не имеющий толщины. На рисунке её изображают следом движения точки, но шириной линии пренебрегают. Это понятие нужно, чтобы описывать форму и расположение других геометрических объектов.

Прямая — линия, которая не меняет направления и не ограничена с двух сторон. Её можно мысленно продолжать влево и вправо сколько угодно. Прямые используют как основу для построений и определения положения точек.

Кривая — линия, направление которой изменяется при движении по ней. Она может изгибаться плавно или иметь отдельные повороты. Такое определение помогает отличить кривую от прямой по её форме, а не по тому, насколько аккуратно она нарисована.

Прямую обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя точками на ней: AB. Кривую обычно задают её изображением и отмеченными точками, через которые она проходит. Обозначения позволяют коротко описывать линию в условии и решении задачи.

Как это устроено

Прямая и кривая — разновидности линий, но их направления ведут себя по-разному. Если двигаться по прямой, выбранное направление сохраняется на всём пути. При движении по кривой направление постепенно или резко изменяется, поэтому линия отклоняется от первоначального положения.

Прямую проводят линейкой, потому что её край задаёт одно неизменное направление. Достаточно приложить линейку к двум отмеченным точкам и провести линию вдоль края. Через две различные точки нельзя провести две разные прямые: если направления совпали в этих точках, получилась одна и та же прямая.

Именно поэтому через две различные точки проходит единственная прямая. Представьте, что линейка касается обеих точек: её положение определяется этими двумя точками однозначно. Повернуть линейку и снова попасть точно в обе точки невозможно, потому что новое положение даст уже другое направление.

Через три точки прямая проходит не всегда. Сначала проводят прямую через две точки, например A и B, а затем проверяют положение точки C. Если C лежит на этой линии, три точки находятся на одной прямой; если нет, общей прямой для всех трёх точек не существует.

По рисунку прямую узнают по сохранению направления: её части не расходятся и не поворачивают. У кривой направление меняется, даже если изгиб небольшой и линия выглядит почти ровной. Прямая бесконечна, но на листе нельзя изобразить её целиком, поэтому показывают лишь часть и мысленно продолжают её в обе стороны.

Сравнение прямой и кривой

Пользуйтесь таблицей, когда нужно быстро сравнить линии по одному признаку. Сначала определите, меняется ли направление, а затем уточните способ построения и протяжённость. Свойства о двух и трёх точках применяйте только к прямым.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображены несколько линий. Нужно определить, какие из них прямые, а какие кривые, и объяснить выбор. Внешняя аккуратность рисунка не является главным признаком.

1. Мысленно выберите направление в начале каждой линии.
2. Проверьте, сохраняется ли это направление на всём изображённом участке.
3. Назовите линию прямой, если поворота нет, и кривой, если направление изменяется.

Прямая сохраняет одно направление и может быть проведена по линейке. Линия с изгибом или поворотом является кривой. Значит, вид каждой линии определяется изменением направления.

Задача 2

Даны точки A, B и C. Нужно установить, лежат ли они на одной прямой, и обозначить прямую, проходящую через A и B. Известно, что A и B — различные точки.

1. Проведите линейкой линию через A и B.
2. Обозначьте полученную прямую двумя точками: AB, или строчной буквой, например a.
3. Проверьте, лежит ли точка C точно на проведённой линии.

Если C попала на прямую AB, точки A, B и C лежат на одной прямой. Если C расположена в стороне, они не являются точками одной прямой. Прямая через A и B единственна, поэтому её обозначение AB однозначно.

Задача 3

Через точки A и B на чертеже проведены две различные прямые. Требуется объяснить, возможно ли такое построение, и исправить его. Точки A и B считаются различными.

1. Вспомните свойство: через две различные точки проходит только одна прямая.
2. Сравните два изображения и найдите место, где линии расходятся.
3. Оставьте одну линию, проходящую через обе точки, а лишнюю удалите или исправьте.

Такое построение невозможно, потому что две разные прямые не могут проходить через одну и ту же пару различных точек. Исправленный чертёж содержит одну прямую через A и B. Её можно обозначить AB или одной строчной латинской буквой.

Типичные ошибки

Ошибка — считать отрезок всей прямой. Так происходит, когда ученик видит на листе только нарисованный участок и забывает о продолжении линии. Проверьте себя: у прямой нет концов, а у отрезка есть два конца.

Ошибка — называть любую плавную линию прямой. Плавность изображения ничего не доказывает: прямая определяется сохранением направления. Проведите взглядом по линии и проверьте, не меняется ли её направление.

Ошибка — проводить через две точки несколько разных прямых. Её допускают, если воспринимают прямую как произвольную дорожку между точками. Проверьте построение линейкой: через две различные точки должна проходить одна общая линия.

Ошибка — считать, что любые три точки лежат на одной прямой. Три точки могут образовывать расположение, при котором одна из них находится в стороне. Проведите прямую через две точки и отдельно проверьте положение третьей.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, что такое точка, как её изображают и что означает принадлежность точки линии. Эти понятия помогают правильно читать чертёж и проверять положение точек.

Дальше свойства прямой понадобятся при изучении отрезка, луча, пересечения линий и построений с помощью линейки. Понимание бесконечности прямой позволит отличать её от ограниченных частей.

В других предметах прямые и кривые встречаются на чертежах, картах и технических схемах. Умение распознавать изменение направления помогает правильно читать такие изображения.

Что запомнить

• Прямая и кривая — виды линий.
• Прямая не меняет направления.
• Кривая изменяет направление.
• Прямая не имеет концов.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Три точки лежат на одной прямой не всегда.
• На чертеже изображают только часть бесконечной прямой.