Линии: прямая и кривая

Определения и обозначения

Линия — геометрическая фигура, которую можно представить как след движущейся точки. Например, если вести карандаш по бумаге, его кончик оставит след, который можно мысленно считать линией. Такое представление помогает описывать форму без учёта толщины карандаша или самого следа. Линии встречаются в геометрических фигурах и в окружающих предметах.

Прямая линия — линия, не меняющая направления; её можно продолжать в обе стороны. Если точка движется всё время в одном направлении, она оставляет прямой след. На чертеже прямая часто видна не целиком, а только на небольшом участке. Стрелки на её концах показывают, что она продолжается дальше.

Кривая линия — линия, меняющая направление хотя бы на одном участке. Такую форму оставит точка, которая во время движения хотя бы раз повернула. Кривой может быть не только волнистая линия: окружность и дуга тоже относятся к кривым. Определение помогает не путать внешний вид линии с тем, как она меняет направление.

Прямую обозначают одной строчной буквой или двумя точками, лежащими на ней: например, прямой a или прямой AB. Буквы помогают назвать нужную линию и отличить её от других на чертеже. Если названы две точки, нужно убедиться, что обе они расположены именно на этой прямой. Одну и ту же прямую можно обозначить по-разному, если на ней отмечены разные точки.

Как это устроено

Представим точку, которая движется по плоскости. Пока направление её движения не меняется, каждый новый участок следа продолжает предыдущий без поворота, поэтому след получается прямым. Если точка меняет направление, следующий участок уже не лежит на продолжении прежнего и линия становится кривой. Именно изменение движения, а не длина или цвет следа, позволяет различить эти линии.

Возьмём две разные точки и проведём через них прямую. Чтобы провести другую прямую через те же точки, пришлось бы изменить её наклон или положение, но тогда она уже не прошла бы через обе точки. Поэтому две точки определяют единственное прямое направление и положение. Это свойство удобно при построениях: достаточно отметить две точки, чтобы задать нужную прямую.

Кривой не обязательно следовать одному постоянному направлению, поэтому между теми же точками можно выбрать разные пути. Можно провести линию с изгибом вверх, вниз или сделать несколько изгибов — и каждый раз получится другая кривая. Для прямой такой свободы нет: поворот на участке нарушил бы её прямолинейность. Поэтому через две точки проходит только одна прямая, а кривых через них может быть много.

Линия и её часть — не одно и то же. Отрезок является частью прямой, ограниченной двумя концами; дуга является частью кривой, ограниченной концами дуги. Если нарисовать короткий прямой участок, его длина не превращает его в целую прямую: у него есть границы, а у прямой их нет. Различать целую линию и её часть нужно, чтобы точно описывать чертёж и правильно пользоваться названиями.

В геометрической фигуре можно искать прямые и кривые по форме отдельных линий: стороны прямоугольника прямые, а окружность — кривая. В предметах тоже рассматривают не вещь целиком, а её край, границу или след: край линейки обычно прямой, а обод тарелки образует окружность. Для проверки мысленно проследи движение точки вдоль выбранной линии. Если направление всё время сохраняется — линия прямая, если хотя бы где-то поворачивает — кривая.

Сравнение прямой и кривой линий

Сначала сравнивай не длину, а изменение направления линии. Затем проверь, рассматриваешь ли ты линию целиком или только её часть: например, прямой участок может быть отрезком. В строке про количество линий речь идёт о двух различных точках.

Разбор задач

Задача 1

Определи, какие линии являются прямыми, а какие кривыми: край линейки, окружность, след полёта мяча, натянутая нить. Нужно классифицировать каждый объект по форме линии. Представим, что движемся по его краю или следу, и проверим, приходится ли менять направление. Важно оценивать линию, а не предмет целиком.

1. Край линейки обычно идёт ровно и не поворачивает, поэтому его относим к прямым линиям.
2. При движении по окружности направление всё время меняется, значит, окружность — кривая.
3. След полёта мяча может изгибаться; если на рисунке он меняет направление, это кривая линия.
4. Натянутая нить между двумя точками обычно распрямлена, поэтому её изображённый участок считают прямым.

Ответ: край линейки и натянутая нить изображают прямые линии, окружность и изгибающийся след мяча — кривые. Если след мяча показан иначе, классифицируй именно изображённую форму: критерий — меняет ли она направление. В реальных предметах могут быть неровности, поэтому в геометрии часто рассматривают их идеализированную форму.

Задача 2

Отметь точки A и B, проведи через них прямую AB и две различные кривые линии. Начни с того, что задаёт положение единственной прямой, а затем покажи, что кривая может изгибаться по-разному. Точки A и B должны быть концами нарисованных кривых и лежать на прямой. Не требуется, чтобы кривые имели одинаковую форму.

1. Поставь на листе две разные точки и подпиши их A и B.
2. Приложи линейку к обеим точкам и проведи прямую через них; продли её в обе стороны.
3. Нарисуй от A к B первую кривую, например с изгибом вверх.
4. Проведи вторую кривую между теми же точками, но с другим изгибом, например вниз.

Ответ: на чертеже есть прямая AB и две различные кривые, проходящие через A и B. Прямую можно задать только одним способом, а кривые отличаются формой изгибов. Проверь, что каждая кривая начинается в одной отмеченной точке и заканчивается в другой.

Задача 3

На рисунке с несколькими линиями найди все прямые и кривые, обозначь прямую через точки M и N и объясни, почему другой прямой через эти точки быть не может. Сначала классифицируй линии по изменению направления, а затем найди именно ту прямую, на которой лежат обе точки. Не смешивай её с кривыми, даже если они тоже проходят через M и N. Название прямой должно включать точки, лежащие на ней.

1. Проследи каждую линию и отметь прямые, которые не меняют направления, и кривые, имеющие хотя бы один изгиб.
2. Найди M и N на чертеже; проверь, что обе точки лежат на одной прямой.
3. Обозначь эту линию как прямую MN (или NM).
4. Обоснуй единственность: две различные точки задают только одну прямую, поэтому иная прямая через M и N невозможна.

Ответ: все линии распределены на прямые и кривые по их направлению, а прямая через M и N обозначена прямой MN. Кривые через эти же точки возможны, но они не являются второй прямой. При проверке убедись, что точки M и N не просто расположены рядом с обозначенной линией, а лежат на ней.

Типичные ошибки

Короткий прямой участок часто называют прямой, хотя если у него есть два конца, это отрезок — часть прямой. Ошибку допускают потому, что на рисунке целая прямая тоже показана ограниченным участком листа. Проверь, есть ли у изображённой фигуры собственные концы: стрелки означают продолжение прямой, а отмеченные границы отрезка — его концы.

Иногда считают, что через две точки можно провести несколько прямых, смешивая прямые с кривыми. Кривые действительно можно изгибать по-разному, но изгиб нарушает прямолинейность. Чтобы проверить себя, приложи линейку к двум точкам: положение прямой будет единственным, а линии с изгибами нужно называть кривыми.

Кривой нередко называют только волнистую линию и не замечают окружность или дугу. Причина в том, что слово «кривая» связывают с волнами, хотя признак кривой — изменение направления. Проследи линию мысленно: если точка поворачивает, это кривая, даже когда линия образует ровный круг.

На рисунке прямую могут изображать с двумя видимыми концами и принимать их за настоящее начало и конец. Так происходит, потому что линия чертежа занимает ограниченное место на бумаге. Проверь, обозначены ли продолжения стрелками: прямая продолжается в обе стороны, а видимые границы листа лишь ограничивают её изображение.

Связь с другими темами

Перед изучением линий полезно знать, что такое точка и отрезок, уметь пользоваться линейкой и определять положение точек на чертеже. Эти навыки помогают проводить прямую через заданные точки и не путать её с частью прямой. Если точка или линия отмечена неясно, сначала уточни, что именно изображено.

Различие между прямой и кривой пригодится при изучении луча, отрезка и угла, а также пересечения прямых. В геометрических построениях нужно точно выбирать линию и понимать, где она продолжается. Позже эти представления помогут разбирать более сложные фигуры и их части.

Что запомнить

• Прямая линия не меняет направления.
• Кривая линия меняет направление.
• Прямую можно продолжать в обе стороны.
• Через две точки проходит единственная прямая.
• Через две точки можно провести много разных кривых.
• Прямую обозначают одной строчной буквой или двумя точками на ней.