"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами, а все точки прямой между ними тоже принадлежат отрезку. Отрезки обозначают двумя заглавными буквами, а их длину измеряют линейкой и записывают с единицей измерения. Понимание свойств отрезка помогает строить фигуры, сравнивать расстояния и решать задачи, в которых целое складывается из нескольких частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки отделяют его от продолжения прямой в обе стороны, поэтому у отрезка есть начало и конец, но нет бесконечного продолжения. В отличие от прямой он конечен, а в отличие от луча ограничен с двух сторон. Это помогает точно описывать расстояния и части геометрических фигур.
Концы отрезка — две точки, которые его ограничивают. Они не просто отмечают границы: сами точки тоже входят в отрезок. Например, если отрезок имеет концы A и B, то и A, и B принадлежат ему. Это правило нужно учитывать при определении, лежит ли точка на отрезке.
Отрезок обозначают двумя заглавными буквами — названиями его концов: AB или BA. Одна буква обозначает точку, а не отрезок, поэтому для отрезка нужны оба имени. Порядок букв можно менять: он не превращает отрезок в другой объект. Такое обозначение позволяет кратко записывать геометрические рассуждения.
Длина отрезка — расстояние между его концами. Её выражают числом и единицей измерения, например 7 см или 2 м. Число без единицы может быть непонятным, потому что измерять можно сантиметрами, миллиметрами и другими единицами. Длина нужна, чтобы сравнивать отрезки и находить расстояния.
Две различные точки на прямой делят её на три части: отрезок между точками и два луча за их пределами. Это происходит потому, что прямая продолжается в обе стороны, а отмеченные точки задают участок, расположенный между ними. На этом участке находятся сами точки и все точки прямой между ними. За границами участка остаются два луча, которые в отрезок не входят.
Обозначения AB и BA называют один отрезок, потому что буквы указывают только его концы. У отрезка нет заданного направления, поэтому перестановка названий не меняет его положения или длины. Это отличается от записи, где порядок может задавать движение или последовательность действий. При чтении обозначения достаточно узнать, какие две точки являются концами.
Чтобы понять, принадлежит ли точка отрезку, проверь её расположение на той же прямой. Точка должна совпадать с одним из концов или находиться между концами; иначе она лежит на продолжении прямой, а не на отрезке. Границы включены, поэтому ответ «между концами» не должен исключать сами концы. Такое правило помогает отличать отрезок от прямой, на которой он расположен.
При измерении линейкой нулевую отметку совмещают с одним концом отрезка, а не обязательно с краем линейки. Затем смотрят, напротив какой отметки оказался второй конец, и записывают результат с единицей длины. Если начало приложить к отметке 1 см, показание у второго конца не будет длиной отрезка: придётся учитывать сдвиг. Поэтому сначала проверяют именно положение нуля.
Сравнить отрезки можно наложением или измерением. При наложении совмещают один конец и смотрят, совпадают ли вторые; измерение даёт числовые длины, которые можно сопоставить. Если точка делит отрезок на две последовательные части, длины частей складываются в длину целого. А если целое и одна часть известны, другую находят вычитанием длины известной части.
| Свойство или элемент | Что это означает | Как обозначают или находят |
|---|---|---|
| Концы отрезка | Точки, ограничивающие отрезок | Двумя заглавными буквами, например A и B |
| Обозначение | Название отрезка по его концам | AB или BA |
| Точки, принадлежащие отрезку | Концы и точки между ними на прямой | Проверяют по расположению на прямой между концами |
| Длина | Расстояние между концами | Измеряют линейкой и записывают с единицей длины |
| Части отрезка | Отрезки, на которые его делит внутренняя точка | Их длины складываются в длину всего отрезка |
Сначала по таблице можно определить, какие точки задают отрезок и как его записать. Затем проверьте, принадлежит ли точка ему, и выберите способ сравнения или измерения. Для частей используйте сложение, если они последовательно составляют целый отрезок.
Условие. Точки A, B и C отмечены на рисунке; требуется назвать все изображённые отрезки и записать обозначение одного из них в обратном порядке. Конкретный перечень зависит от того, какие пары точек соединены на рисунке. Если все три точки лежат на одной нарисованной части прямой, нужно проверить, видны ли отрезки между каждой парой.
Ответ. Записывают все пары концов, которые соединены на рисунке, например AB, AC и BC, если изображены все три отрезка. Обратное обозначение одного из них: BA. Без сведений о том, какие именно соединения показаны, перечислить конкретный набор нельзя.
Условие. Нужно построить AB длиной 7 см, отметить на нём точку C и измерить AC и CB. Так как положение C не задано, единственных значений для частей нет: они зависят от выбранного места. Требуется, чтобы C лежала на отрезке, а не на его продолжении.
Ответ. Например, если C выбрана так, что AC = 3 см, то CB = 4 см. Возможны и другие значения: например, AC = 2 см и CB = 5 см. В каждом случае сумма длин частей равна 7 см.
Условие. Точка C лежит между A и B. Сначала нужно найти AB, если AC = 4 см и CB = 6 см; затем определить CB, если AB = 15 см и AC = 8 см. Условие «C лежит между» означает, что части AC и CB идут подряд и вместе составляют весь отрезок AB. Поэтому здесь допустимо складывать длины частей.
Ответ. В первом случае AB = 10 см. Во втором случае CB = 7 см.
Ошибка — считать отрезком любую линию между двумя точками, не проверяя, что она является частью прямой и ограничена именно этими двумя концами. Так бывает, когда слово «линия» используют слишком широко и не различают прямую, кривую и отрезок. Проверь себя: отрезок лежит на прямой и имеет ровно два конца. Его точки за концами уже относятся к продолжению прямой.
Иногда отрезок пытаются обозначить одной буквой или путают его обозначение с названием точки, прямой либо луча. Одна заглавная буква задаёт точку, а отрезок называют по двум концам. Ошибка возникает, если не учитывать, что у разных геометрических объектов разные способы обозначения. Проверь, указаны ли две точки и действительно ли они являются концами отрезка.
При измерении можно начать не от нулевой отметки, а от края линейки или от деления 1 см. Тогда прочитанное число не равно длине отрезка, потому что начало отсчёта сдвинуто. Чтобы проверить измерение, приложи ноль к одному концу и снова посмотри на отметку у другого. Если линейка сломана или ноль стёрт, измеряй от известной отметки и вычитай начальное показание.
Нельзя складывать длины любых двух отрезков и считать их суммой длиной третьего. Части должны составлять один отрезок и располагаться последовательно, без промежутков и наложений. Такая ошибка появляется, когда забывают проверить положение общей точки. Проверь условие: внутренняя точка должна лежать между концами целого, а части — соединяться концом к концу.
Для работы с отрезками нужно знать, что такое точка, прямая и луч, а также понимать единицы длины и уметь пользоваться линейкой. Эти представления помогают различать объекты и правильно измерять их. Отрезки встречаются при изучении ломаных и углов, а на координатном луче помогают изображать числа и расстояния. В геометрических построениях из отрезков составляют фигуры и измеряют их элементы.
Чем отрезок отличается от прямой и луча?
Прямая не имеет концов и продолжается в обе стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца, а отрезок ограничен двумя концами.
Почему отрезок AB можно назвать BA?
Буквы в обозначении называют концы отрезка, а не задают направление движения. Поэтому AB и BA — один и тот же отрезок.
Принадлежат ли концы отрезка самому отрезку?
Да, оба конца входят в состав отрезка. Кроме них, ему принадлежат все точки прямой, расположенные между концами.
Как правильно измерить отрезок линейкой?
Совмести нулевую отметку линейки с одним концом отрезка. Затем посмотри, на какую отметку приходится другой конец, и запиши длину вместе с единицей измерения.
Можно ли найти длину всего отрезка по длинам его частей?
Да, если части расположены последовательно и составляют весь отрезок, их длины складывают. Например, если AC = 4 см, а CB = 6 см и C лежит между A и B, то AB = 10 см.
Отрезок
