3.6. Отрезок

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Иначе говоря, в него входят две граничные точки и все точки прямой между ними. Это позволяет выделить конечную часть прямой и рассматривать её отдельно от бесконечной прямой или луча.

Концы отрезка — две точки, которые его ограничивают; отрезок обозначают двумя заглавными буквами его концов, например AB. Буквы называют точки, по которым можно однозначно указать нужный отрезок. Порядок букв можно поменять: AB и BA обозначают один и тот же отрезок.

Длина отрезка — расстояние между его концами, выраженное в выбранных единицах. Например, запись AB = 6 см означает, что расстояние между A и B равно шести сантиметрам. Длина нужна, чтобы сравнивать расстояния и выполнять вычисления с геометрическими величинами.

Середина отрезка — точка этого отрезка, равноудалённая от его концов и делящая его на два равных отрезка. Если C — середина AB, то AC = CB. Это понятие помогает делить отрезок пополам и проверять, одинаковы ли получившиеся части.

Как это устроено

Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому на ней можно выделить ровно одну часть, ограниченную этими точками. Эта часть и есть отрезок с данными концами. Прямая не имеет концов и продолжается бесконечно в обе стороны, а луч имеет один конец и продолжается бесконечно в одну сторону. Отрезок же содержит только промежуток между двумя концами и сами концы.

Обозначения AB и BA описывают одну и ту же пару граничных точек. Поскольку отрезок не направлен, перестановка букв не создаёт нового объекта. Например, если пройти от A к B или от B к A, границы и все точки между ними останутся прежними. Поэтому оба обозначения можно использовать для одного отрезка.

Чтобы измерить длину линейкой, совместите нулевую отметку с одним концом отрезка и посмотрите, на какую отметку приходится другой конец. Если нулевая отметка не совпадает с началом отрезка, нужно найти разность показаний у его концов. Результат зависит от единицы: одно и то же расстояние можно выразить, например, в сантиметрах или миллиметрах, и числовые значения будут разными. Поэтому число всегда записывают вместе с единицей измерения.

Сравнить два отрезка можно наложением, измерением или сравнением числовых значений их длин. При наложении совмещают один конец и смотрят, совпадает ли второй; так можно определить, какой отрезок длиннее, даже не зная его длины числом. Измерение линейкой даёт длины, которые можно сопоставить. Если значения записаны в разных единицах, перед сравнением их переводят в одинаковые единицы.

Если точка C лежит между концами A и B, она разделяет отрезок AB на части AC и CB. Чтобы пройти от A до B, сначала проходят от A до C, затем от C до B, поэтому длина всего отрезка равна сумме длин частей: AB = AC + CB. Если известна длина целого и одной части, длину другой находят вычитанием. Это правило работает и тогда, когда между концами отмечено несколько точек: длина целого равна сумме длин всех последовательных частей.

Основные понятия и свойства отрезка

В таблице собраны обозначения и свойства, которые помогают различать отрезок, его концы и длину. Ищите нужное понятие в первом столбце, а затем сверяйте его смысл и главное свойство. Таблица пригодится при разборе задач и проверке вычислений.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A, B, C и D. Выписать все отрезки, концами которых являются эти точки, и назвать отрезок, содержащий точку C внутри. Если расположение точек не задано, для перечисления достаточно взять все пары различных точек. Для ответа о точке внутри нужно знать, какие точки лежат на одном отрезке и в каком порядке.

1. Выберем точку A и составим пары с остальными: AB, AC, AD. Каждая пара задаёт отрезок с концами в названных точках. Порядок букв не создаёт нового отрезка.
2. Из оставшихся точек составим пары: BC, BD и CD. Других пар нет, поскольку повторять уже перечисленные пары с обратным порядком не нужно.
3. Чтобы назвать отрезок, содержащий C внутри, проверим расположение точек. Если C находится между A и B, это отрезок AB; если между другой парой концов, укажем её. Без сведений о расположении точек определить конкретный такой отрезок нельзя.

Ответ: AB, AC, AD, BC, BD, CD; отрезок с точкой C внутри определяется по расположению точек. Например, если C лежит между A и B, это AB.

Задача 2. Длина отрезка AB равна 8 см. Точка C лежит между A и B, причём AC = 3 см. Найти длину CB. Так как C расположена внутри отрезка, части AC и CB вместе составляют весь AB. Значит, можно применить равенство AB = AC + CB.

1. Запишем известные длины: AB = 8 см и AC = 3 см. Неизвестна длина второй части CB.
2. Из равенства AB = AC + CB выразим CB: CB = AB − AC. Вычитание подходит, потому что из длины целого убираем известную часть.
3. Подставим значения: CB = 8 − 3 = 5 см. Проверим: 3 см + 5 см = 8 см, значит, части в сумме дают исходный отрезок.

Ответ: CB = 5 см.

Задача 3. На координатной прямой даны A(−4), B(6) и C(1). Найти длину AB и проверить, является ли C серединой AB. На координатной прямой расстояние между точками находят как модуль разности их координат. Чтобы проверить середину, отдельно сравним расстояния от C до A и от C до B.

1. Вычислим длину AB: |6 − (−4)| = |10| = 10. Модуль нужен, чтобы расстояние получилось положительным независимо от порядка вычитания.
2. Найдём расстояние от C до A: |1 − (−4)| = 5. От C до B: |6 − 1| = 5.
3. Расстояния равны, а координата C находится между −4 и 6. Значит, C лежит на отрезке AB и делит его на две равные части.

Ответ: AB = 10; C — середина отрезка AB.

Типичные ошибки

Ошибочно считать отрезком любую линию между двумя точками, не проверяя, является ли она частью прямой с двумя концами. Такое представление возникает, когда слово «между» понимают только наглядно, без определения. Проверьте, что речь идёт о прямой и что выделенная часть ограничена именно двумя точками.

Иногда AB и BA записывают как разные отрезки, потому что буквы стоят в другом порядке. Но буквы обозначают концы, а не направление движения по отрезку. Для самопроверки назовите обе граничные точки: если это та же пара A и B, отрезок один и тот же.

При измерении можно приложить к концу линейки не нулевую отметку или перепутать число с единицей измерения. Тогда результат окажется неверным либо будет неполным: запись «5» не сообщает, сантиметры это или миллиметры. Начинайте измерение от нуля, а если это невозможно — вычитайте показания у концов; затем обязательно записывайте единицу.

Нельзя называть серединой любую точку, которая просто находится внутри отрезка. Такую ошибку допускают, ориентируясь только на положение точки, не сравнивая части. Проверьте оба условия: точка лежит на отрезке, а расстояния от неё до концов равны.

Связь с другими темами

Для изучения отрезка нужны понятия точки, прямой и луча, представление о взаимном расположении точек и знание единиц длины. Позже отрезки станут частями ломаных и помогут находить периметр геометрических фигур. На координатной прямой длина отрезка выражает расстояние между точками.

Правило сложения длин частей помогает составлять и решать уравнения, а также задачи на геометрические величины. Оно связывает чертёж с вычислениями: неизвестную часть можно найти, если известны целое и другая часть. Поэтому важно не только измерять отрезки, но и правильно записывать отношения между ними.

Что запомнить

• Отрезок имеет два конца и содержит все точки прямой между ними.
• Отрезок обозначают двумя буквами, соответствующими его концам.
• Обозначения AB и BA задают один и тот же отрезок.
• Длина отрезка — расстояние между его концами.
• Если точка C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
• Середина отрезка делит его на два равных отрезка.
• Длину отрезка записывают вместе с единицей измерения.