Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнение чисел — установление, какое из двух чисел больше, меньше или равняется другому. Оно помогает упорядочить значения и выбрать нужное в вычислениях и задачах. Результат сравнения записывают специальным знаком между числами. Например, запись 4 < 9 означает, что четыре меньше девяти.

Знаки сравнения >, < и = обозначают отношения «больше», «меньше» и «равно». Их ставят между числами, а читают слева направо: 8 > 3 — «восемь больше трёх». Верное прочтение помогает не перепутать направление знака. Знак = используют, когда значения слева и справа совпадают.

Числовая прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением, на которой каждому числу соответствует точка. Начало отсчёта обычно обозначают нулём, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Прямая позволяет увидеть порядок чисел и расстояния между ними. По ней удобно сравнивать в том числе отрицательные числа.

Противоположные числа — числа, расположенные на числовой прямой по разные стороны от нуля и на одинаковом расстоянии от него. Например, числа 4 и −4 противоположны, а ноль противоположен самому себе. Такая пара нужна, чтобы понимать, как числа соотносятся с нулём. Противоположные числа имеют одинаковый модуль, но разные знаки, кроме нуля.

Как это устроено

Каждому числу на числовой прямой соответствует определённое место, поэтому порядок точек показывает порядок чисел. Направление вправо принято считать положительным: при движении вправо значения увеличиваются, а при движении влево — уменьшаются. Поэтому точка правее соответствует большему числу. Например, −2 < 1 < 3: точка −2 расположена левее точки 1, а точка 3 — правее обеих.

Натуральные числа удобно сравнивать по разрядам, потому что каждая цифра показывает количество единиц, десятков, сотен и так далее. Если цифр разное количество, то больше число с большим количеством цифр: например, в четырёхзначном числе разряд тысяч есть, а в трёхзначном его нет. Если количество цифр одинаковое, начинают со старшего разряда. При совпадении цифр переходят к следующему разряду, пока не найдут различие или не убедятся, что числа равны.

Положение чисел относительно нуля сразу задаёт порядок целых чисел. При движении вправо от нуля числа положительные и возрастают, поэтому любое положительное число больше нуля. Слева от нуля находятся отрицательные числа, и ноль больше любого из них. Если оба числа отрицательные, больше то, которое правее и ближе к нулю: например, −3 > −7, потому что от нуля до −3 расстояние меньше.

У дробей сравнение зависит от того, какие части целого описывают знаменатели. Если знаменатели одинаковы, части имеют одинаковый размер, поэтому больше та дробь, в которой больше таких частей: 5/9 > 2/9. Если знаменатели разные, сначала удобно представить дроби в одинаковых долях — привести к общему знаменателю. Например, 3/4 = 6/8, а 6/8 > 5/8, значит, 3/4 > 5/8.

Десятичные дроби записывают по разрядам, поэтому их сравнивают так же, как числа с одинаковым количеством разрядов. Чтобы удобно сопоставить дробные части, можно дописать в конце дроби нули: значение не изменится, например, 2,5 = 2,50. Затем сравнивают целые части, а если они равны — цифры после запятой слева направо. Так видно, что 2,50 > 2,47: целые части одинаковы, а в разряде десятых цифра 5 больше 4.

Правила сравнения чисел

Сначала определи, к какому виду относятся числа, а затем найди соответствующее правило. В последнем столбце приведены примеры, показывающие, как записать результат. Если сомневаешься в знаке, прочитай сравнение словами слева направо.

Разбор задач

Сравнить 638 и 683

Оба числа трёхзначные, поэтому сравним их поразрядно, начиная с наибольшего разряда. В разряде сотен стоят одинаковые цифры 6, значит, сотни результата не определяют. Переходим к десяткам: здесь стоят 3 и 8, и уже это различие позволяет решить задачу.

1. Сравним сотни: 6 = 6. Пока числа равны по старшему разряду.

2. Сравним десятки: 3 < 8. Значит, число 638 меньше 683, до сравнения единиц переходить не нужно.

3. Запишем результат знаком сравнения и прочитаем его слева направо: шестьсот тридцать восемь меньше шестисот восьмидесяти трёх.

Ответ: 638 < 683.

Расположить −3, 0, 5, −7 по возрастанию

Порядок возрастания означает, что каждое следующее число должно быть больше предыдущего. На числовой прямой числа расположены слева направо от меньшего к большему. Отрицательные числа находятся слева от нуля, а положительные — справа, поэтому сначала расставим числа по этим группам.

1. Из двух отрицательных чисел −7 и −3 левее находится −7: его модуль больше, поэтому само число меньше. Значит, −7 стоит раньше −3.

2. После отрицательных чисел поставим 0, который больше любого отрицательного числа. Положительное число 5 расположено правее нуля и будет последним.

3. Проверим порядок на прямой: при движении вправо значения увеличиваются, переходя от −7 к −3, затем к 0 и 5.

Ответ: −7, −3, 0, 5.

Сравнить дроби 7/12 и 5/8

Знаменатели 12 и 8 различаются, поэтому сравнивать числители напрямую нельзя: дроби описывают части разного размера. Приведём обе дроби к общему знаменателю. Удобно выбрать 24, потому что он делится и на 12, и на 8.

1. Преобразуем первую дробь: 7/12 = 14/24, умножив числитель и знаменатель на 2. Значение дроби при этом не изменилось.

2. Преобразуем вторую: 5/8 = 15/24, умножив числитель и знаменатель на 3. Теперь знаменатели одинаковые.

3. Сравним числители: 14 < 15, поэтому 14/24 < 15/24. Следовательно, исходная дробь 7/12 меньше 5/8.

Ответ: 7/12 < 5/8.

Типичные ошибки

Иногда знак > ставят вместо <, потому что неверно представляют его направление или читают запись справа налево. Чтобы проверить себя, прочитай всю запись слева направо словами: например, 4 < 9 — «четыре меньше девяти». Открытая часть знака обращена к большему числу, а острый угол — к меньшему. Если чтение не совпадает с тем, что известно о числах, знак нужно исправить.

Ошибочно считать −8 больше −3 из-за того, что модуль 8 больше модуля 3. Модуль показывает расстояние от числа до нуля, но для отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю. Представь числа на прямой: −8 находится левее −3. Значит, −8 < −3, и расположение точек поможет проверить ответ.

При разных знаменателях нельзя сравнивать дроби только по числителям: одинаковое количество долей зависит от размера каждой доли. Например, числители 3 и 5 сами по себе не дают готового ответа для дробей с разными знаменателями. Приведи дроби к общему знаменателю и лишь потом сравни числители. Проверкой будет равенство знаменателей в получившейся паре дробей.

Запись 2,7 иногда считают меньшей, чем 2,65, потому что у неё меньше цифр после запятой. Количество цифр не определяет величину десятичной дроби: в конец можно дописать ноль, не меняя значения. Получаем 2,70 и 2,65, а по разряду десятых видно, что 2,70 > 2,65. Для проверки уравнивай количество знаков после запятой, а не сравнивай длину записей.

Связь с другими темами

Для сравнения полезно знать разряды натуральных чисел, уметь читать координаты и пользоваться числовой прямой. Также понадобятся представления о положительных и отрицательных числах, обыкновенных дробях и десятичной записи. Эти знания объясняют, как определить порядок значений разного вида.

Сравнение используют, когда нужно расположить числа по порядку, выбрать большее или меньшее значение и решить неравенство. В таких заданиях недостаточно выполнить вычисления: важно верно прочитать отношение между числами. Навык помогает проверять, подходит ли полученный результат условию.

Дальше сравнение пригодится при работе с координатами, модулями, действиями с дробями и построении графиков. Оно помогает определить, где на прямой или координатной оси расположено значение относительно другого. Поэтому правила сравнения связывают вычисления с изображением чисел и их положением.

Что запомнить

• Знак > читают как «больше», знак < — как «меньше», знак = — как «равно».
• На числовой прямой больше то число, точка которого расположена правее.
• Любое положительное число больше нуля, а ноль больше любого отрицательного числа.
• Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.
• При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями сравнивают числители.
• Десятичные дроби сравнивают поразрядно после уравнивания количества знаков после запятой.