Урок 27. Знакомимся с многоугольниками

Определения и обозначения

Многоугольник — замкнутая фигура, граница которой состоит из отрезков. В отличие от незамкнутой ломаной, его граница не обрывается: она возвращается к начальной точке. Это определение помогает проверить, действительно ли перед нами многоугольник, а не просто несколько соединённых отрезков.

Сторона многоугольника — один из отрезков, образующих его границу. Стороны идут друг за другом по замкнутой линии и ограничивают фигуру. Их нужно находить, чтобы описать многоугольник, назвать его и позже вычислять его периметр.

Вершина многоугольника — общая точка двух соседних сторон. В вершине одна сторона заканчивается, а следующая начинается. Это понятие позволяет точно отмечать углы фигуры и не путать точки соединения отрезков с точками внутри многоугольника.

Замкнутая ломаная — линия из последовательно соединённых отрезков, у которой конец последнего отрезка совпадает с началом первого. Благодаря совпадению концов линия образует замкнутую границу. Понятие нужно, чтобы отличить линию, ограничивающую многоугольник, от ломаной с разомкнутыми концами.

Как это устроено

Ломаная получается, когда несколько отрезков соединены последовательно: конец одного совпадает с началом следующего. Если пройти по этой линии, можно попасть от её начальной точки к конечной. Когда конечная точка совпадает с начальной, путь замыкается, и ломаная становится замкнутой.

Замкнутая ломаная ограничивает фигуру, потому что её граница не имеет свободных концов и отделяет внутреннюю область от внешней. Незамкнутая линия оставляет проход между концами, поэтому она не окружает такую область. Проверяя фигуру, сначала проследи, можно ли пройти по всем её отрезкам и вернуться в начальную точку.

Стороны и вершины находят последовательным обходом границы. Отмечай каждый отрезок между соседними точками соединения — это сторона, а каждую точку, где один отрезок переходит в другой, — вершина. Такой способ не даёт пропустить часть границы или принять точку внутри фигуры за её вершину.

Число сторон равно числу вершин, потому что в замкнутой линии каждый следующий отрезок соединяется с предыдущим в вершине. После обхода всей границы число таких соединений совпадает с числом отрезков. Сторон должно быть не меньше трёх: два отрезка не могут образовать замкнутую границу многоугольника, состоящую из разных сторон.

Многоугольники называют по числу сторон, а значит, и по числу вершин. Фигура с тремя сторонами — треугольник, с четырьмя — четырёхугольник, с пятью — пятиугольник. При большем количестве сторон используют названия, указывающие на число сторон, например шестиугольник.

Многоугольники и число их сторон

Сначала посчитай отрезки границы, затем проверь, что столько же раз она меняет направление в точках соединения. Если линия замкнута, это число поможет определить название фигуры. По таблице можно проверить и обратное: например, у пятиугольника должно быть пять сторон и пять вершин.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены замкнутая и незамкнутая ломаные. Определи, какая из них образует многоугольник. Не обязательно начинать с подсчёта отрезков: сперва проверь главное условие — замыкается ли граница.

1. Выбери одну из ломаных и проследи её от начала до конца.
2. Проверь, совпадает ли конечная точка с начальной и состоит ли линия из отрезков.
3. Повтори проверку для второй ломаной и сравни результат.

Ответ. Многоугольник образует замкнутая ломаная, состоящая из отрезков. Незамкнутая ломаная многоугольником не является, потому что её концы не соединены.

Задача 2. У многоугольника 5 сторон. Сколько у него вершин и как он называется? В условии уже дано количество сторон, поэтому не нужно отдельно искать точки на рисунке. Используй равенство числа сторон и вершин и название по количеству сторон.

1. Запиши число сторон: их 5.
2. Вспомни, что у многоугольника число вершин равно числу сторон.
3. Найди название фигуры с пятью сторонами.

Ответ. У фигуры 5 вершин, она называется пятиугольником. Проверка: число сторон совпадает с числом вершин.

Задача 3. На рисунке многоугольник с отмеченными точками. Найди его стороны и вершины, затем назови фигуру по числу сторон. Чтобы не пропустить элементы, двигайся по границе в одном направлении и возвращайся к исходной точке. Точки внутри фигуры или на середине отрезка не учитывай.

1. Выбери вершину на границе и переходи к следующей отмеченной точке, в которой соединяются стороны.
2. Считай каждый пройденный отрезок одной стороной, а каждую точку соединения — одной вершиной.
3. Когда вернёшься к начальной точке, закончи подсчёт и проверь, что числа равны.
4. Определи название по числу сторон: например, при пяти сторонах это пятиугольник.

Ответ. Стороны — все отрезки, образующие границу, а вершины — точки соединения соседних сторон. Название фигуры определяется по количеству найденных сторон. Без самого рисунка число сторон и конкретное название определить нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать многоугольником незамкнутую ломаную. Её концы не соединены, поэтому граница остаётся открытой и фигура не ограничена. Такую линию легко принять за многоугольник, если смотреть только на отдельные отрезки. Проведи взглядом линию до конца и проверь, вернулась ли она к начальной точке.

Ошибка: считать вершинами точки внутри фигуры или на середине стороны. Эти точки не соединяют две соседние стороны, хотя могут быть отмечены на рисунке. Путаница возникает, когда считают все нанесённые точки, а не только точки границы. Проверяй, встречаются ли в выбранной точке два отрезка, образующие соседние стороны.

Ошибка: считать число сторон и вершин по-разному. У замкнутой ломаной каждому отрезку соответствует точка соединения с соседней стороной. Иногда при обходе пропускают начальную вершину или считают её дважды. Для проверки обойди границу до возвращения в начало и убедись, что итоговые числа совпали.

Ошибка: считать многоугольником любую фигуру из отрезков. Если отрезки не соединены концами или линия не замкнута, границы многоугольника нет. Эту ошибку допускают, когда замечают отрезки, но не проверяют их расположение. Убедись, что соседние стороны соединены концами и весь обход приводит обратно к начальной точке.

Связь с другими темами

Перед изучением многоугольников нужно уметь распознавать отрезок и ломаную, находить концы отрезка и точки. Эти знания помогают увидеть, из каких частей составлена граница фигуры. Позже понятие сторон понадобится при изучении периметра — суммы длин сторон многоугольника.

Многоугольники объединяют целые группы геометрических фигур. На их основе изучают треугольники, четырёхугольники и фигуры с большим числом сторон. Умение считать и находить вершины помогает разбирать их устройство и свойства.

Что запомнить

• Многоугольник — замкнутая фигура, граница которой состоит из отрезков.
• Стороны многоугольника — отрезки его границы.
• Вершины — точки соединения соседних сторон.
• Число сторон равно числу вершин.
• У многоугольника не меньше трёх сторон.
• Название многоугольника часто указывает на число его сторон.