§ 8. Инструменты для вычислений и измерений

Определения и обозначения

Калькулятор — прибор для выполнения арифметических действий. Клавиши с цифрами вводят числа, клавиши «+», «−», «×», «÷» задают действие, а «=» показывает результат. Он нужен, чтобы быстро считать, но ввод всё равно требуется проверять.

Линейка — инструмент для измерения и построения отрезков. На её шкале деления показывают единицы длины, например сантиметры и миллиметры. Чтобы узнать длину, отсчёт ведут от нулевой отметки, а не обязательно от края линейки.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов. Его центр отмечен точкой или небольшим отверстием, а вдоль основания проходит нулевая линия. С их помощью транспортир правильно располагают относительно вершины и стороны угла.

Циркуль — инструмент для построения окружностей и переноса расстояний. Одна его ножка заканчивается иглой, другая — грифелем или карандашом. Расстояние между ножками задаёт радиус окружности или длину, которую нужно перенести.

Как это устроено

На калькуляторе сначала вводят первое число, затем знак действия и второе число, после чего нажимают «=». Например, для сложения 12 и 5 нажимают клавиши 1, 2, «+», 5, «=». Такая последовательность нужна, чтобы прибор понял, какие числа и что именно следует вычислить. До чтения ответа полезно проверить экран: одна неверная цифра или знак меняет всё действие.

При измерении линейкой длина определяется промежутком между концами отрезка, а не расстоянием от края инструмента. Поэтому начало отрезка совмещают с нулём, если это удобно. Если оно попало, например, на отметку 2 см, а конец — на отметку 7 см, из большего показания вычитают меньшее: 7 − 2 = 5 см. Разность показывает именно длину отрезка, потому что отсчёт шкалы начинается от нуля.

Чтобы измерить угол, приложите транспортир так, чтобы его центр оказался точно на вершине, а нулевая линия совпала с одной стороной. Затем посмотрите, где вторая сторона пересекает шкалу. На транспортире обычно есть две шкалы, потому что ноль может оказаться слева или справа; выбирайте ту, где отсчёт начинается от нуля у совмещённой стороны. Если взять другую шкалу, получится другое число, не соответствующее этому углу.

Циркуль помогает построить окружность одинакового радиуса во всех направлениях: расстояние от её центра до любой точки линии окружности постоянно. Чтобы получить заданный радиус, сначала измерьте его линейкой и установите такое же раскрытие циркуля. Затем поставьте иглу в заданный центр и, удерживая её на месте, поверните циркуль вокруг неё. Для переноса длины раскройте циркуль по концам отрезка и перенесите его, не меняя раскрытия; линейка для повторного измерения не нужна.

Вычисление и измерение дают разные виды результата. Калькулятор выполняет действие с введёнными числами, поэтому ошибка может возникнуть ещё до получения ответа — при наборе цифр или знака. Измерительный инструмент показывает значение величины по шкале, и точность зависит от того, насколько мелкие деления нанесены и насколько аккуратно расположен инструмент. Поэтому результат вычисления проверяют обратным действием, а результат измерения — правильным совмещением и считыванием отметок.

Инструменты для вычислений и измерений

В таблице собраны назначение инструментов и главная проверка при работе с каждым из них. Перед измерением или вычислением сначала определите, какой инструмент подходит для задачи. Затем проверьте его положение, ввод или показания шкалы.

Разбор задач

Вычислите на калькуляторе 275 + 438 и проверьте результат обратным действием.

Нужно получить сумму и убедиться, что при вводе не перепутаны цифры или знак. Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и ожидают получить другое. Для проверки удобно взять слагаемое 438.

1. Нажимаем 2, 7, 5, «+», 4, 3, 8, «=».
2. На экране появляется 713. Сверяем набранные числа и знак с условием задачи.
3. Вычитаем 438 из результата: 713 − 438 = 275. Получили первое слагаемое, значит, проверка подтверждает сумму.

Ответ: 713.

Измерьте длину отрезка, изображённого на рисунке, если его начало не совпадает с краем линейки.

Край линейки не обязательно совпадает с отметкой 0, поэтому измерять только от края нельзя. Сначала нужно определить показание у начала отрезка, затем — у конца. Длина равна разности этих двух показаний, поскольку так мы находим расстояние между концами.

1. Прикладываем шкалу вдоль отрезка и совмещаем её деления с ним.
2. Считываем отметки у концов: в этом примере начало находится на 2 см, а конец — на 7 см.
3. Вычитаем начальное показание из конечного: 7 − 2 = 5 см.
4. Проверяем, что отрезок расположен вдоль шкалы, а деления прочитаны без смещения.

Ответ: длина отрезка равна 5 см. Если на вашей линейке или рисунке показания другие, вычтите начальное показание из конечного.

Постройте угол в 65° и окружность радиусом 3 см с центром в заданной точке.

Сначала строим угол транспортиром, а затем окружность циркулем. В обоих случаях важно правильно установить инструмент: транспортир — относительно вершины и стороны, циркуль — относительно радиуса и центра. Иначе даже точное показание шкалы не даст нужного построения.

1. Проводим луч — одну сторону будущего угла, а вершину отмечаем на его начале.
2. Ставим центр транспортира на вершину и совмещаем нулевую линию с лучом. На подходящей шкале отмечаем 65° и проводим из вершины второй луч через отметку.
3. Линейкой выставляем раскрытие циркуля 3 см. Иглу ставим в заданный центр окружности.
4. Не меняя раскрытия, вращаем циркуль вокруг иглы и проводим окружность.

Ответ: построены угол 65° и окружность радиусом 3 см. Для контроля проверьте, что у угла выбрана шкала с нулём на первой стороне, а радиус циркуля не изменился при черчении.

Типичные ошибки

Начинают измерять от края линейки, не проверив, совпадает ли он с нулём. Это случается потому, что край инструмента кажется естественным началом отсчёта, но он может быть немного смещён относительно нулевой отметки. В результате к длине прибавляется или от неё отнимается лишний участок. Проверьте, где стоят оба конца, и, если начало не на нуле, найдите разность показаний.

На транспортире считывают не ту шкалу. Две шкалы направлены в разные стороны, поэтому одно и то же место может соответствовать разным числам; ошибку легко допустить, если смотреть только на деление у второй стороны угла. Проверьте, какая шкала начинается с нуля у стороны, совмещённой с нулевой линией. Именно по ней нужно читать градусы.

При измерении угла центр транспортира не совмещают с вершиной. Тогда отметка шкалы показывает угол относительно смещённой точки, а не относительно настоящей вершины. Такое смещение трудно заметить, если проверять только число. Перед отсчётом посмотрите, попала ли вершина точно в центр транспортира.

Ответ калькулятора принимают без проверки. Прибор точно выполняет введённое действие, но не знает, какое число или знак вы собирались набрать; опечатка тоже даст результат на экране. Сверьте ввод с условием и проверьте ответ обратным действием, например сложение — вычитанием. Если проверка не возвращает исходное число, повторите вычисление.

Связь с другими темами

Чтобы пользоваться калькулятором, нужно знать арифметические действия с натуральными числами: именно их вводят для вычислений и используют при проверке. Для работы с линейкой нужны единицы измерения длины, например сантиметры и миллиметры. Без них одного числа недостаточно: запись должна показывать, в каких единицах дана длина.

Измерение и построение отрезков и углов нужны при изучении геометрических фигур. Эти умения помогают находить периметр — длину границы фигуры — и решать задачи на площадь. Аккуратные измерения особенно полезны, когда геометрическую фигуру нужно построить или проверить её размеры.

Что запомнить

• Калькулятор помогает выполнять вычисления, но правильность ввода нужно проверять.
• Длину отрезка по линейке находят по делениям шкалы.
• Если начало отрезка не совпало с нулём, из конечного показания вычитают начальное.
• При измерении угла центр транспортира совмещают с его вершиной.
• Для построения угла выбирают шкалу, начинающуюся с нуля на заданной стороне.
• Радиус окружности устанавливают циркулем по линейке.