"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Уравнение — это равенство с неизвестным, истинность которого зависит от выбранного значения. Найти значение, при котором равенство верно, — значит найти корень уравнения. Решение помогает отыскать все такие значения или установить, что их нет. Для этого выполняют одинаковые действия с обеими частями равенства, сохраняя его корни, а затем проверяют ответ подстановкой в исходное уравнение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное, например x + 3 = 8. Если вместо x подставлять разные числа, равенство может оказаться верным или неверным. Поэтому уравнение описывает условие, которому должно удовлетворять неизвестное, и помогает найти подходящие значения.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. В уравнении x + 3 = 8 число 5 является корнем, потому что 5 + 3 = 8. Это понятие позволяет отличить подходящие значения от тех, которые условию не удовлетворяют.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Иногда подходящих значений несколько, а иногда ни одно число не превращает равенство в верное. Требование найти именно все корни не позволяет остановиться на первом найденном значении.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, 2x = 10 и x = 5 равносильны: у обоих уравнений единственный корень 5. Это понятие нужно, чтобы при упрощении уравнения быть уверенным: преобразования не изменили ответ.
Чтобы понять, является ли число корнем, его подставляют вместо неизвестного и вычисляют обе части равенства. Например, в x + 4 = 9 значение 5 даёт равенство 9 = 9, а значение 3 — равенство 7 = 9, которое неверно. Значит, 5 — корень, а 3 — нет. Проверка подстановкой показывает, что ответ определяется не внешним видом числа, а тем, выполняется ли условие.
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение или вычесть его, потому что равные величины останутся равными после одинакового изменения. Если при некотором значении неизвестного левая и правая части равны, то после прибавления к обеим одного числа они по-прежнему равны. И наоборот, из нового равенства можно вычесть это число и вернуться к исходному. Поэтому такие действия не добавляют новых корней и не убирают прежние.
Умножение обеих частей на одно и то же ненулевое число сохраняет равносильность: умножение не нарушает равенства, а обратное действие — деление на это число — позволяет вернуться к исходному уравнению. По той же причине делить обе части можно только на число, отличное от нуля. Если множитель равен нулю, обе части превратятся в ноль независимо от неизвестного, и исходная информация потеряется. Деление на выражение с неизвестным требует отдельной осторожности: сначала выясняют, может ли оно стать нулём.
Преобразования равносильности позволяют шаг за шагом упростить запись и оставить неизвестное в одной части. Например, в уравнении 3x + 2 = 11 можно вычесть 2 из обеих частей и получить 3x = 9, а затем разделить обе части на 3 и получить x = 3. Каждый шаг заменяет уравнение равносильным ему, поэтому корень не меняется. Вид x = a сразу показывает найденное значение неизвестного.
После решения найденное значение подставляют в исходное уравнение, а не только в последнюю строку преобразований. Так проверяют, действительно ли ответ удовлетворяет первоначальному условию: например, совпадают ли числовые значения левой и правой частей. Это особенно полезно, если при вычислениях или преобразованиях могла появиться ошибка. Если равенство не получилось, ответ нужно перепроверить.
| Преобразование | Что сделать с обеими частями | Условие | Что происходит с корнями |
|---|---|---|---|
| Сложение или вычитание | Прибавить или вычесть одно и то же число или выражение | Действие выполнено одинаково в обеих частях | Множество корней сохраняется |
| Умножение | Умножить обе части на одно и то же число | Число не равно нулю | Множество корней сохраняется |
| Деление | Разделить обе части на одно и то же число | Делитель не равен нулю | Множество корней сохраняется |
| Проверка | Подставить найденное значение в исходное уравнение | Проверять именно исходное уравнение | Подтверждается, что значение является корнем |
Перед каждым преобразованием проверь условие из третьего столбца: особенно важно не умножать и не делить на ноль. Затем сравнивай множества корней, а не только внешний вид записей. Последняя строка напоминает, что проверка подтверждает найденный ответ, но сама по себе не заменяет решение.
Задача 1. Решите уравнение 4x = 28. Неизвестное умножено на 4, поэтому нужно отменить это умножение делением. Делить можно, так как 4 не равно нулю. После решения подставим найденное значение в исходное равенство.
Ответ: 7. Проверка подтвердила, что найденное число подходит к исходному уравнению.
Задача 2. Решите уравнение 5x + 7 = 2x + 19. Неизвестное встречается в обеих частях, поэтому сначала соберём слагаемые с x слева. Одновременно оставим числа справа: каждое действие выполняем с обеими частями, чтобы сохранить корни. Затем приведём подобные слагаемые и проверим результат.
Ответ: 4. Обе части исходного равенства при подстановке равны 27, значит, значение найдено верно.
Задача 3. Решите уравнение (x − 3)/4 + 2 = (x + 1)/2. В уравнении есть дроби со знаменателями 4 и 2. Умножим обе части на общий ненулевой знаменатель 4, чтобы избавиться от дробей. Затем упростим равносильное уравнение и проверим корень подстановкой в исходную запись.
Ответ: 3. Проверка в исходном уравнении дала одинаковые значения левой и правой частей.
При переносе слагаемого в другую часть иногда оставляют прежний знак. Перенос — лишь краткая запись действия с обеими частями: например, чтобы убрать +7 слева, нужно вычесть 7 и слева, и справа, поэтому справа получится число со знаком минус. Ошибку можно проверить, записав действие полностью и убедившись, что оно одинаково выполнено в обеих частях.
Деля обе части на выражение с неизвестным, можно забыть, что оно иногда равно нулю. Тогда деление не определено при некоторых значениях и возможный корень может потеряться. Перед таким шагом проверь, при каких значениях выражение обращается в ноль; этот случай нужно рассмотреть отдельно. Если нулевые значения исключить нельзя, делить на выражение без дополнительного разбора нельзя.
Умножение обеих частей на ноль кажется допустимым действием с равенством, но после него получается 0 = 0 при любом значении неизвестного. Исходные сведения о корнях при этом исчезают, поэтому такое преобразование не равносильно исходному уравнению. Проверь, не равен ли множитель нулю: для сохранения множества корней он должен быть ненулевым.
Иногда найденное значение сразу записывают в ответ и не проверяют. Причина — уверенность, что все преобразования выполнены правильно, хотя одна ошибка в знаке или вычислении меняет результат. Подставь значение в исходное уравнение и сравни обе части. Если они не равны, вернись к решению и найди неверный шаг.
Для решения уравнений нужны свойства числовых равенств и умение выполнять действия с числами и буквенными выражениями. Эти знания помогают преобразовывать обе части так, чтобы неизвестное осталось отдельно. Уравнения используют и в текстовых задачах: по условию составляют равенство, а его корень помогает найти искомую величину. Они также пригодятся при изучении систем уравнений и функций.
Чем уравнение отличается от числового равенства?
В числовом равенстве все числа известны, поэтому можно сразу проверить, верно оно или нет. В уравнении есть неизвестное, и истинность равенства зависит от его значения.
Что называют корнем уравнения?
Корень — это значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, для уравнения x + 2 = 5 корень равен 3.
Почему одно и то же действие нужно выполнять с обеими частями?
Равные величины останутся равными, если к ним прибавить или из них вычесть одно и то же. Так преобразование не меняет множество корней и сохраняет исходный смысл уравнения.
Можно ли делить обе части уравнения на выражение с неизвестным?
Только если известно, что это выражение не равно нулю при всех рассматриваемых значениях. Если оно может обратиться в ноль, деление способно исключить корень, поэтому сначала нужно отдельно проверить этот случай.
Зачем проверять корень подстановкой?
Подстановка в исходное уравнение показывает, действительно ли найденное значение превращает его в верное равенство. Проверка помогает обнаружить ошибку в вычислениях или преобразованиях.
Уравнения
