Урок 9. Вычитание двузначных чисел: 40 - 28

Определения и обозначения

Разрядный состав двузначного числа — это представление числа как суммы десятков и единиц. Например, в числе 28 содержатся 2 десятка и 8 единиц, поэтому 28 = 20 + 8. Такое разложение помогает увидеть, из каких частей состоит число. Оно нужно, чтобы вычитать десятки и единицы по очереди, а не пытаться сразу выполнить всё действие.

Вычитание двузначных чисел — это нахождение разности двух чисел, каждое из которых состоит из десятков и единиц. В записи 40 − 28 число 40 называют уменьшаемым, 28 — вычитаемым, а результат — разностью. Чтобы найти разность, можно разложить вычитаемое на удобные части. Так вычисление становится понятнее и его легче проверить.

Вычитание с переходом через разряд — это вычитание, при котором единиц в разряде единиц уменьшаемого не хватает для прямого вычитания. Например, в числе 40 нет отдельных единиц, из которых можно сразу вычесть 8. Поэтому действие удобно разделить на шаги: сначала вычесть десятки, затем выполнить вычитание единиц из промежуточного числа. Такой способ позволяет считать без записи столбиком.

Компенсация при вычитании — это замена вычитаемого близким круглым числом с последующим учётом изменения разности. Например, вместо 28 можно временно вычесть 30, но это на 2 больше нужного. Значит, после вычитания 30 нужно прибавить 2 обратно. Компенсация нужна, когда круглое число вычитать легче, чем исходное.

Как это устроено

Число 28 удобно разложить на 20 и 8, потому что это его десятки и единицы: 28 = 20 + 8. Тогда исходное действие превращается в последовательность более простых действий: сначала вычитаются десятки, затем единицы. Такой порядок помогает не смешивать разряды и не забыть часть вычитаемого. Запись 40 − 28 = 40 − 20 − 8 показывает, что вычитается именно всё число 28.

Сначала вычисляем 40 − 20 = 20: от четырёх десятков убрали два десятка, остались два. Теперь из промежуточного результата вычитаем 8: 20 − 8 = 12. Мы не вычитаем 8 из числа 40 напрямую, потому что в нём нет единиц; сначала получили число 20, из которого эти единицы можно вычесть. Значит, 40 − 28 = 12.

Можно сделать иначе: заменить 28 на ближайший больший круглый десяток 30. Вычесть его просто: 40 − 30 = 10, но мы убрали на 2 больше, чем требовалось. Поэтому к 10 нужно прибавить 2: 10 + 2 = 12. Вся запись выглядит так: 40 − 28 = 40 − 30 + 2.

Оба способа дают один результат, потому что в каждом сохраняется исходная разность. При разложении числа вычитаются обе его части: 20 и 8, вместе они составляют 28. При компенсации сначала вычитается лишнее количество, а затем оно возвращается прибавлением 2. Если забыть один из шагов, изменится и ответ, поэтому полезно проследить, что именно вычли и что учли.

Проверить вычитание можно сложением: к разности прибавляют вычитаемое. Если ответ 12 верен, то 12 + 28 должно равняться уменьшаемому 40. Складываем: 12 + 28 = 40, значит, вычисление выполнено правильно. Такая проверка использует связь сложения и вычитания.

Способы вычислить 40 − 28

Сначала выбери способ, в котором проще выполнить промежуточные действия. При вычитании по частям следи, чтобы вычесть и десятки, и единицы; при компенсации — чтобы вернуть разницу между числами. Сравни ответы: они должны совпасть, потому что оба способа вычисляют 40 − 28.

Разбор задач

Задача 1. Вычисли 50 − 26, разложив вычитаемое на десятки и единицы. Здесь удобно использовать вычитание по частям, потому что 26 легко представить как 20 + 6. Сначала уберём два десятка, а затем шесть единиц. Так мы учтём обе части вычитаемого.

1. Разложим вычитаемое: 26 = 20 + 6.
2. Вычтем десятки: 50 − 20 = 30.
3. Вычтем единицы: 30 − 6 = 24.

Ответ: 24. Промежуточное число 30 появилось после вычитания десятков, а последний шаг учитывает оставшиеся единицы. Проверка: 24 + 26 = 50.

Задача 2. Вычисли 70 − 38 двумя способами: по частям и через ближайший десяток. Сначала разложим 38 на десятки и единицы, а затем заменим его ближайшим большим круглым числом 40. При втором способе нужно вернуть разницу между 38 и 40, иначе будет вычтено лишнее. Сравнение результатов покажет, что оба приёма работают одинаково.

1. По частям: 38 = 30 + 8, поэтому 70 − 30 = 40, затем 40 − 8 = 32.
2. Через десяток: 38 на 2 меньше 40, значит, 70 − 40 = 30, затем прибавляем 2: 30 + 2 = 32.
3. Оба способа дали 32; проверим сложением: 32 + 38 = 70.

Ответ: 32. В первом решении вычли обе части числа 38, а во втором учли, что 40 больше 38 на 2. Проверка подтверждает, что разность вместе с вычитаемым составляет исходное уменьшаемое.

Задача 3. У Лены было 40 рублей. Она потратила 28 рублей. Сколько рублей осталось? Чтобы узнать остаток, нужно из первоначальной суммы вычесть потраченную. Решим двумя способами: по частям и через круглый десяток. Затем проверим результат сложением остатка и потраченной суммы.

1. По частям: 28 = 20 + 8; 40 − 20 = 20, затем 20 − 8 = 12.
2. Через круглый десяток: 40 − 30 = 10, но вычли на 2 больше, поэтому 10 + 2 = 12.
3. Проверим: к оставшимся 12 рублям прибавим потраченные 28 рублей; 12 + 28 = 40.

Ответ: у Лены осталось 12 рублей. Оба способа приводят к одному количеству, поскольку в обоих вычисляется 40 − 28. Проверка возвращает первоначальную сумму денег.

Типичные ошибки

Если из 40 вычесть только 20 и остановиться, получится промежуточный результат 20, а не ответ. Так происходит, когда забывают, что 28 состоит ещё и из 8 единиц. Запиши разложение 28 = 20 + 8 и проверь, что после вычитания десятков выполнен шаг 20 − 8. В конце можно убедиться сложением: к разности нужно прибавить все 28.

При замене 28 на 30 иногда забывают прибавить 2 обратно. Тогда получится 10, потому что вычли на 2 больше, чем требовалось. Чтобы заметить ошибку, сравни 28 и 30 до вычисления и назови разницу между ними. После действия 40 − 30 обязательно выполни 10 + 2.

Запись 40 − 20 − 8 нельзя превращать в 40 − (20 − 8): скобки меняют смысл действий. В первом случае последовательно вычитают 20, а затем 8; во втором сначала находят разность 20 и 8, а потом вычитают её из 40. Проверяй запись по разложению 28 = 20 + 8: обе части должны вычитаться из 40 по очереди.

Для проверки не нужно вычитать разность из уменьшаемого: это не обратное действие, нужное здесь для проверки. Вычитание проверяют сложением разности и вычитаемого, например 12 + 28 = 40. Ошибку допускают, если путают роли чисел в действии. Назови уменьшаемое и вычитаемое, а затем проверь, что сумма результата и вычитаемого равна уменьшаемому.

Связь с другими темами

Чтобы вычитать двузначные числа, полезно уметь представлять их как сумму десятков и единиц и вычитать круглые десятки. Эти навыки дают возможность разложить число 28 и выполнить действие по шагам. Проверка опирается на связь сложения и вычитания: разность плюс вычитаемое равны уменьшаемому. Приёмы пригодятся для устного счёта, решения текстовых задач и дальнейшего освоения письменного вычитания двузначных чисел.

Что запомнить

• Двузначное число можно разложить на десятки и единицы.
• Вычитаемое можно вычитать по частям.
• 28 = 20 + 8, поэтому 40 − 28 = 40 − 20 − 8.
• Если вместо 28 вычесть 30, нужно прибавить 2.
• Проверка вычитания: разность плюс вычитаемое равны уменьшаемому.
• 40 − 28 = 12.