"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Умножение на трёхзначное число помогает находить произведение больших чисел, когда второй множитель состоит из сотен, десятков и единиц. Его раскладывают на разрядные слагаемые, умножают первый множитель на каждое из них, а затем складывают полученные результаты. Так письменный алгоритм опирается на распределительное свойство умножения. Чтобы вычислить верно, нужно учитывать разряд каждого слагаемого, правильно записывать сдвиг и проверять порядок величины ответа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение на трёхзначное число — письменный способ нахождения произведения, когда второй множитель имеет три цифры. Например, в записи 324 · 213 число 213 — трёхзначный множитель. Такой способ удобен, когда произведение трудно найти устно и важно не потерять разрядное значение цифр.
Разрядные слагаемые — числа, на которые раскладывают трёхзначный множитель по единицам, десяткам и сотням. Например, 213 = 200 + 10 + 3, где каждое слагаемое показывает вклад своего разряда. Это разложение помогает заменить одно сложное вычисление несколькими более простыми.
Неполное произведение — результат умножения первого множителя на одну цифру второго множителя с учётом её разряда. Например, при вычислении 324 · 213 получаются произведения 324 · 3, 324 · 10 и 324 · 200. Их называют неполными, потому что вместе они ещё не составляют окончательный ответ.
Письменный алгоритм умножения — последовательность записи и сложения неполных произведений. Сначала вычисляют произведения для разрядов второго множителя, затем складывают результаты столбиком. Алгоритм нужен, чтобы выполнять длинные вычисления в одном и том же порядке и контролировать разряды.
Трёхзначный множитель раскладывают на сотни, десятки и единицы, потому что его цифры обозначают разное количество единиц. В числе 213 цифра 2 означает 2 сотни, цифра 1 — 1 десяток, а цифра 3 — 3 единицы. Поэтому 213 = 200 + 10 + 3, а не просто сумма цифр 2 + 1 + 3. Разложение сохраняет настоящее значение каждой цифры и позволяет отдельно учесть каждый разряд.
Распределительное свойство умножения объясняет, почему произведение можно заменить суммой более простых произведений. Если второй множитель равен сумме 200 + 10 + 3, то 324 · 213 = 324 · (200 + 10 + 3) = 324 · 200 + 324 · 10 + 324 · 3. Так вместо одного вычисления с большим числом мы получаем три умножения, которые легче выполнить письменно. Их сумма и будет исходным произведением.
Сдвиг записи нужен потому, что цифры десятков и сотен обозначают не единицы. Умножение на цифру десятков фактически означает умножение на число десятков, поэтому результат становится в 10 раз больше, чем произведение только на эту цифру. Его записывают на одну позицию левее, или оставляют разряд единиц пустым. Для сотен множитель содержит 100, поэтому неполное произведение сдвигают на две позиции.
Неполные произведения удобно находить справа налево: сначала умножить на единицы, затем на десятки, потом на сотни. Такой порядок соответствует записи столбиком и позволяет сразу записать первое произведение без сдвига. При каждом шаге нужно учитывать не только цифру, но и её разряд: например, цифра 4 в числе 304 означает 4 единицы, а цифра 3 — 3 сотни. Если в разряде стоит ноль, соответствующее неполное произведение равно нулю.
Неполные произведения складывают, потому что вместе они составляют произведение на весь трёхзначный множитель. При сложении одноимённые разряды должны стоять друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Считать начинают справа, перенося десятки или сотни в следующий разряд, если сумма превышает 9. Прикидка помогает проверить порядок величины: если 324 умножить примерно на 200, получится около 64 800, значит ответ к примеру 324 · 213 должен быть немного больше.
| Элемент алгоритма | Что выполняем | Как учитываем разряд |
|---|---|---|
| Умножение на единицы | Умножаем первый множитель на цифру единиц | Записываем без сдвига |
| Умножение на десятки | Умножаем первый множитель на цифру десятков | Сдвигаем запись на один разряд влево |
| Умножение на сотни | Умножаем первый множитель на цифру сотен | Сдвигаем запись на два разряда влево |
| Сложение неполных произведений | Складываем полученные результаты | Одноимённые разряды записываем друг под другом |
| Проверка результата | Сравниваем результат с примерной оценкой или выполняем обратное действие | Проверяем соответствие разрядов и порядка величины |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: найди неполные произведения, соблюдая сдвиг, затем сложи их. В конце оцени порядок величины ответа или проверь его делением. Если в множителе есть ноль, убедись, что при записи остальных результатов его разряд не потерян.
Задача 1. Вычисли: 324 · 213. В числе 213 есть 3 единицы, 1 десяток и 2 сотни, поэтому будем находить три неполных произведения. Выполним вычисления, учитывая разряд каждого результата. После этого проверим, правдоподобна ли сумма.
Проверим оценкой: 324 · 213 примерно равно 300 · 200 = 60 000, поэтому ответ около 69 тысяч выглядит подходящим. При умножении на число немного больше 200 результат должен быть больше 324 · 200 = 64 800. Ответ: 69 012.
Задача 2. Вычисли: 507 · 304. Здесь во втором множителе десятки равны нулю, поэтому соответствующее неполное произведение будет нулевым. Нельзя из-за этого прочитать 304 как число 34: сотни и единицы сохраняют свои места. Найдём ненулевые части произведения и проследим за сдвигом.
Для проверки оценим: 507 · 304 близко к 500 · 300 = 150 000. Полученный результат немного больше, что соответствует исходным множителям. Ответ: 154 128.
Задача 3. В школьную библиотеку привезли 216 коробок по 304 книги в каждой. Сколько всего книг привезли? Во всех коробках одинаковое количество книг, поэтому общее число книг находим умножением числа коробок на количество книг в одной коробке. Запишем произведение 216 · 304 и применим тот же алгоритм. В числе 304 десятков нет, и это нужно учесть при записи.
Проверим оценкой: 216 · 304 примерно равно 200 · 300 = 60 000, а точное произведение должно быть немного больше. Значение 65 664 подходит к такой оценке и отвечает на вопрос задачи. Ответ: всего привезли 65 664 книги.
Все неполные произведения записывают без сдвига, будто цифры десятков и сотен обозначают единицы. Так легко ошибиться, потому что при умножении на отдельные цифры сначала кажется, что порядок числа не меняется. Проверяй, что результат для десятков сдвинут на один разряд, а для сотен — на два. Разложение множителя, например 213 = 200 + 10 + 3, помогает увидеть нужные места.
Неполные произведения складывают не справа, из-за чего нарушается разрядная запись. Ошибка возникает, если выравнивать числа по первой цифре, а не по единицам. Перед сложением проверь, что единицы стоят под единицами, десятки под десятками, а переносы добавлены к следующему разряду. Полезно отдельно просмотреть столбец единиц и двигаться влево.
Нули в множителе пропускают или читают число неверно, потому что механически переписывают только ненулевые цифры. Например, 304 нельзя считать числом 34: ноль показывает отсутствие десятков и сохраняет положение сотен. Разложи множитель на разрядные слагаемые и проверь, что разрядный сдвиг не потерян. Если нулевое произведение не записывается, остальные строки всё равно должны стоять на правильных местах.
При умножении или сложении ошибаются с переносом и оставляют результат без проверки. Обычно это случается, когда перенос забывают прибавить к следующему разряду или переносят не ту цифру. Выполняй действия справа налево и помечай перенос над следующим разрядом. Затем прикинь ответ округлением либо проверь делением на один из множителей.
Для умножения на трёхзначное число нужны таблица умножения, письменное умножение на однозначное и двузначное число, знание разрядного состава чисел и распределительного свойства. Без этих умений трудно находить отдельные неполные произведения и понимать сдвиг записи. Полученный алгоритм пригодится в текстовых задачах на равные группы, вычислении площадей и стоимости, а также при дальнейшей работе с многозначными числами. Письменное умножение связано и с письменным делением: деление на множитель помогает проверить найденное произведение обратным действием.
Почему при умножении на десятки нужно делать сдвиг на один разряд?
Цифра десятков обозначает не отдельные единицы, а десятки. Поэтому результат умножения на неё в действительности умножается на 10 и записывается со сдвигом на один разряд влево.
Куда записывать нули, если в трёхзначном множителе есть ноль?
Ноль означает, что слагаемого соответствующего разряда нет, но его место в числе сохраняется. Например, в числе 304 нет десятков, поэтому при умножении на десятки получается нулевое неполное произведение; его можно не записывать, если разряды остальных результатов учтены правильно.
Можно ли сначала умножить на сотни, а потом на десятки и единицы?
Да, порядок нахождения неполных произведений можно изменить. Главное — правильно учитывать разряд каждой цифры и складывать результаты, записывая одноимённые разряды друг под другом.
Как проверить результат письменного умножения?
Сначала оцени примерный порядок величины: округли множители и прикинь произведение. Затем можно выполнить обратное действие — разделить произведение на один из множителей и проверить, получился ли другой множитель.
Почему при сложении неполных произведений иногда получается несколько цифр переноса?
В одном разряде сумма цифр может быть больше 9, поэтому часть суммы переносится в следующий разряд. Перенос может возникнуть и там, поэтому складывай последовательно справа налево и каждый перенос прибавляй к следующему разряду.
Урок 13 — 14 Умножение на трёхзначное число
