Урок 14 Преобразование фигур

Определения и обозначения

Преобразование фигуры — правило, которое каждой точке исходной фигуры сопоставляет точку плоскости. При этом фигура переходит в другую фигуру, которую называют её образом. Такое правило нужно, чтобы точно описать перенос, поворот, симметрию или другое изменение фигуры.

Образ точки — точка, в которую переходит данная точка при преобразовании. Если точка A переходит в точку A₁, записывают: A → A₁. По образам отдельных точек можно понять, как преобразование действует на всю фигуру.

Образ фигуры — множество образов всех точек исходной фигуры. Для многоугольника обычно находят образы его вершин, а затем соединяют их в том же порядке. Это позволяет построить всю полученную фигуру, не отмечая отдельно бесконечно много её точек.

Прообраз точки или фигуры — исходная точка или фигура, которая при преобразовании переходит в заданную. Например, если A → A₁, то A — прообраз точки A₁. Прообраз может быть не единственным, если несколько исходных точек переходят в одну и ту же точку.

Как это устроено

Преобразование задаёт соответствие между точками плоскости: каждой исходной точке ставится в соответствие её образ. Поэтому для построения образа фигуры нужно знать, куда переходят её точки. Если правило задано координатами, образ находят подстановкой координат каждой точки в это правило.

Для многоугольника достаточно преобразовать вершины и соединить полученные точки в соответствующем порядке. Например, у треугольника ABC вершины переходят в A₁, B₁ и C₁. Сторона AB соединяет первую и вторую вершины, поэтому в образе ей соответствует отрезок A₁B₁; так же получаются B₁C₁ и C₁A₁.

При преобразовании может измениться положение фигуры, её форма или размеры. Какие именно свойства останутся прежними, определяется правилом преобразования, а не самим словом «преобразование». Например, перенос может изменить координаты всех точек, но не изменить форму, тогда как другое правило способно растянуть фигуру.

Если расстояние между любыми двумя точками сохраняется, то сохраняются и длины сторон: концы каждого отрезка переходят в точки на таком же расстоянии. Угол также сохраняется, потому что его можно определить через длины отрезков, образующих этот угол, и расстояние между их концами. Поэтому исходная фигура и её образ имеют одинаковые форму и размеры и являются равными.

Обратное преобразование позволяет перейти от образа к прообразу. Для однозначного восстановления нужно, чтобы каждой точке образа соответствовала ровно одна исходная точка. Если одна точка образа получается из нескольких исходных точек, определить единственный прообраз невозможно, и обратное соответствие не будет однозначным.

Что происходит с фигурой при преобразовании

В таблице нужно сравнивать не просто названия объектов, а исходный объект с его соответствующим образом. Если преобразование сохраняет расстояния, значения длин и углов совпадают. Если такого свойства нет, форму или размеры образа нельзя заранее считать прежними.

При работе с многоугольником сначала сопоставляют вершины, затем сравнивают стороны и углы между соответствующими элементами. Такая запись помогает не перепутать, например, сторону AB со стороной B₁C₁.

Разбор задач

Задача 1

Точки A, B и C преобразованы в точки A₁, B₁ и C₁. Требуется построить образ треугольника ABC. Образ каждой вершины уже известен, поэтому остаётся восстановить связи между вершинами. Порядок соединения менять нельзя.

1. Отметим точки A₁, B₁ и C₁, соответствующие вершинам A, B и C.
2. Соединим A₁ с B₁, B₁ с C₁, а C₁ с A₁.
3. Проверим, что каждая сторона образа соединяет образы тех же двух исходных вершин.

Ответ: образ треугольника ABC — треугольник A₁B₁C₁.

Задача 2

Каждой точке (x; y) сопоставляют точку (x + 3; y − 2). Пусть вершины четырёхугольника имеют координаты A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃), D(x₄; y₄). Нужно найти новые координаты и построить образ, сохранив порядок вершин.

1. К каждой абсциссе прибавим 3, а из каждой ординаты вычтем 2.
2. Получим A₁(x₁ + 3; y₁ − 2), B₁(x₂ + 3; y₂ − 2), C₁(x₃ + 3; y₃ − 2), D₁(x₄ + 3; y₄ − 2).
3. Нанесём эти точки на координатную плоскость и последовательно соединим A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁.

Ответ: образ строится по точкам A₁, B₁, C₁, D₁ с указанными координатами.

Задача 3

Отрезок AB перешёл в отрезок A₁B₁, причём расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Требуется определить длину A₁B₁ и сравнить отрезки. Длина отрезка — это расстояние между его концами.

1. Рассмотрим точки A и B как пару точек исходной фигуры.
2. По условию расстояние между их образами A₁ и B₁ равно расстоянию между A и B.
3. Следовательно, A₁B₁ = AB, а соответствующие отрезки имеют одинаковую длину.

Ответ: A₁B₁ = AB; отрезки AB и A₁B₁ равны.

Типичные ошибки

Преобразуют только одну вершину многоугольника и считают задачу законченной. Так находят лишь образ одной точки, а не всей фигуры. Нужно преобразовать все вершины и проверить, что для каждой исходной вершины найден свой образ.

Соединяют образы вершин в произвольном порядке, потому что все нужные точки уже отмечены. В результате стороны могут пересечься или получится другая фигура. Проверяйте последовательность: после A должна идти вершина, соединённая с A в исходном многоугольнике.

Считают, что любое преобразование сохраняет длины и углы. Это верно только для преобразований с соответствующими свойствами, например сохраняющих расстояния. Перед сравнением фигур найдите в условии указание на сохранение расстояний или других величин.

Путают образ с прообразом: образ получают после применения правила, а прообраз является исходной точкой или фигурой. Ошибка возникает, если читать соответствие в обратную сторону. Полезно записать стрелку: исходная точка → образ.

Связь с другими темами

До изучения преобразований нужно уметь распознавать точки, отрезки, углы и многоугольники, а также строить фигуры по заданным вершинам. Это помогает правильно понимать, какие элементы переходят друг в друга.

Понятие преобразования используется при изучении симметрии, параллельного переноса, поворота и движений плоскости. Во всех этих случаях важно отслеживать соответствие исходных точек и их образов.

Координатная плоскость позволяет задавать преобразование правилом для координат. Например, запись (x; y) → (x + 3; y − 2) сразу показывает, как построить образ каждой вершины.

Что запомнить

• Преобразование сопоставляет исходным точкам их образы.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• Образ многоугольника строят по образам его вершин.
• Порядок соединения образов вершин сохраняют.
• Не каждое преобразование сохраняет длины и углы.
• Если расстояния сохраняются, исходная фигура и её образ равны.