Урок 15—16 Симметрия

Определения и обозначения

Симметрия — такое расположение частей фигуры, при котором они совмещаются при отражении. Представь отражение в зеркале: каждой точке одной части соответствует точка другой части. Понятие помогает описывать повторяющуюся зеркальную форму и проверять, одинаковы ли её части.

Симметричные фигуры — фигуры, совпадающие при отражении относительно одной и той же прямой. Иначе говоря, отражение одной фигуры точно накладывается на другую. Это определение нужно, чтобы отличать точное зеркальное соответствие от простого сходства или одинакового размера фигур.

Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура отражается сама в себя. Если мысленно отразить фигуру через эту прямую, её очертания совпадут с исходными. Ось нужна для описания симметрии и служит ориентиром при построении зеркальной части.

Симметричная точка — точка, расположенная по другую сторону оси на таком же расстоянии от неё. Отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен оси, а сама ось проходит через его середину. Это правило позволяет точно построить отражённую точку без зеркала и складывания бумаги.

Как это устроено

Мысленно сложи фигуру по предполагаемой прямой. Если при сгибе части точно накладываются друг на друга, прямая может быть осью симметрии; если края расходятся или одна часть выступает, симметрии относительно неё нет. Такое складывание работает, потому что при отражении каждая точка должна попасть в соответствующую точку на другой стороне. Для проверки нужно сравнивать всю фигуру, а не только отдельные похожие участки.

Пусть точки A и B соответствуют друг другу при отражении относительно оси. Их расстояния до оси равны, поэтому ось проходит посередине отрезка AB. Кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру, значит, AB перпендикулярен оси. Если бы отрезок был наклонён, его концы не оказались бы на одинаковом расстоянии от прямой при таком расположении. Поэтому обе части отрезка равны, а ось пересекает его под прямым углом.

Чтобы построить точку, симметричную данной относительно прямой l, сначала проведи из точки перпендикуляр к l. Точка пересечения перпендикуляра с осью будет серединой отрезка между исходной и искомой точками. Измерь расстояние от исходной точки до оси и отложи его по тому же перпендикуляру на противоположную сторону. Полученная точка будет симметричной, потому что выполнены оба условия: равные расстояния до оси и перпендикулярность соединяющего отрезка.

Фигуру с вершинами отражают по одной: через каждую вершину проводят перпендикуляр к оси и откладывают такое же расстояние за осью. Затем полученные точки соединяют в том же порядке, в каком были соединены исходные вершины. Такой порядок сохраняет стороны и соседство вершин, поэтому получается зеркальная фигура, а не случайно соединённый многоугольник. Для кривой линии нужно аналогично отразить достаточно много её точек и восстановить очертание.

Количество осей зависит от того, сколько прямых делят фигуру на зеркально совпадающие части. У равнобедренного треугольника такая прямая одна, у квадрата их четыре, а круг совпадает при отражении относительно любой прямой через центр. У некоторых фигур подходящей прямой нет: например, у разностороннего треугольника. Центр фигуры сам по себе не гарантирует ось — после отражения должна совпасть каждая часть, а не только отдельная точка.

Оси симметрии геометрических фигур

Сначала посмотри на число осей, затем проверь их расположение: прямая должна делить фигуру на совпадающие при отражении части. Для проверки можно мысленно сложить фигуру по каждой предполагаемой оси. У прямоугольника и квадрата важно учитывать, что у квадрата стороны равны, поэтому его диагонали тоже становятся осями.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какие из изображённых фигур имеют ось симметрии, и провести все такие оси. Изображения перед нами нет, поэтому разберём способ, который подходит для каждого чертежа. Не ограничивайся одной найденной прямой: нужно проверить и остальные возможные направления. Ответ для конкретных фигур зависит от их очертаний.

1. Наметь прямую, по которой фигуру можно мысленно сложить на две части.
2. Проверь, совпадут ли при сгибе все стороны и точки обеих частей. Если хотя бы один край не совпадает, эта прямая не подходит.
3. Проверь другие направления, включая вертикальное, горизонтальное и наклонное. Проведи все прямые, при которых совпадает вся фигура.

Ответ: оси есть у тех фигур, которые совмещаются сами с собой при отражении; нужно провести каждую такую прямую.

Задача 2. Построить точку B, симметричную точке A относительно прямой l, а затем построить симметричный отрезок. Чтобы получить точное отражение, сначала найди кратчайшее расстояние от A до оси. При построении отрезка нужно отразить оба его конца, а не только один.

1. Проведи через A перпендикуляр к l и обозначь точку пересечения с осью H.
2. Измерь AH и на том же перпендикуляре за осью отложи от H отрезок HB, равный AH. Полученная точка — B.
3. Для отрезка CD таким же способом построй точки C′ и D′. Соедини их: C′D′ — отрезок, симметричный CD.

Ответ: точка B лежит за осью на перпендикуляре через A, причём AH = HB; отражённый отрезок — C′D′.

Задача 3. Достроить изображение до фигуры, симметричной относительно данной оси, и определить число осей симметрии полученной фигуры. Сначала отрази все отмеченные вершины, чтобы достроенная часть стала точной зеркальной копией исходной. Затем проверь симметрию уже целой фигуры: наличие заданной оси не исключает других осей, но и не доказывает их наличие.

1. Из каждой вершины исходной части проведи перпендикуляр к заданной оси.
2. По другую сторону оси отложи равные расстояния и отметь отражённые вершины.
3. Соедини новые точки в соответствующем порядке и проверь, что стороны продолжают очертание без разрывов.
4. Проверь другие прямые, которые могут делить получившуюся фигуру на зеркальные части, складыванием или сравнением соответствующих точек.

Ответ: достроенная фигура симметрична относительно заданной оси; число её осей определяется отдельной проверкой всех возможных прямых.

Типичные ошибки

• Ось проводят на глаз, не проверяя середины и прямые углы. Так делают, потому что приблизительно похожие части кажутся одинаковыми. Проведи перпендикуляры через соответствующие точки и проверь, что ось делит каждый соединяющий их отрезок пополам.
• Любую линию через центр фигуры считают осью. Центр — только одна точка, и прямая через неё может разделить фигуру на части разной формы. Отрази фигуру относительно этой прямой или сравни обе её половины: они должны совпасть полностью.
• При построении точки расстояние до оси откладывают не по перпендикуляру. Тогда точка окажется на неправильном расстоянии от прямой, даже если отрезок кажется нужной длины. Проверь, что исходная и отражённая точки лежат на одной перпендикулярной к оси прямой.
• Отражают только часть вершин или соединяют новые точки в другом порядке. Из-за этого контур получается неполным или стороны пересекаются. Составь список всех вершин, отрази каждую и соединяй образы в том же порядке, что и исходные точки.

Связь с другими темами

Для построения отражённых точек нужны понятия перпендикулярных прямых, расстояния от точки до прямой, отрезка и его середины. Если эти понятия знакомы, можно точно проверить, лежат ли точки на равном расстоянии от оси. Дальше симметрия понадобится при изучении геометрических преобразований, построении фигур и работе с координатной плоскостью. Она встречается в орнаментах, чертежах, архитектуре и природных формах, где помогает описывать повторяющиеся очертания.

Что запомнить

• Ось симметрии делит фигуру на зеркально одинаковые части.
• Соответствующие симметричные точки находятся на одинаковом расстоянии от оси.
• Отрезок между симметричными точками перпендикулярен оси симметрии.
• Ось симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего симметричные точки.
• У фигуры может быть одна, несколько, бесконечно много осей симметрии или не быть ни одной.
• Круг имеет бесконечно много осей симметрии, а квадрат — четыре.
• Для построения симметричной фигуры достаточно отразить все её вершины относительно оси.