Урок 17 Симметричные фигуры

Определения и обозначения

Симметричные фигуры — фигуры, совпадающие при определённом преобразовании симметрии. Например, одна фигура может получиться из другой зеркальным отражением или поворотом на пол-оборота. Это понятие помогает точно описывать, какие части фигуры соответствуют друг другу.

Ось симметрии — прямая, относительно которой одна часть фигуры зеркально отражается в другую. Если сложить фигуру по этой прямой, совпадающие части наложатся одна на другую. Ось используют, чтобы находить и строить зеркальные образы.

Симметрия относительно прямой — преобразование, при котором соответствующие точки находятся на перпендикуляре к оси и равноудалены от неё. Образ точки лежит по другую сторону оси на том же расстоянии. Это правило позволяет построить отражённую фигуру точно, а не на глаз.

Центр симметрии — точка, относительно которой соответствующие точки фигуры расположены на одной прямой и находятся на одинаковом расстоянии по разные стороны от неё. Иначе говоря, центр — середина отрезка между точкой и её образом. Это определение нужно для построения фигуры поворотом на 180 градусов.

Как это устроено

При зеркальном отражении точка перемещается к другой стороне оси, но не ближе и не дальше от неё. Поэтому исходная точка и её образ находятся на одном перпендикуляре к оси: движение вбок или по наклонной изменило бы расстояние до неё. Расстояния до оси равны, значит, ось проходит через середину отрезка между точками. Так получается свойство серединного перпендикуляра.

Чтобы построить точку B, симметричную точке A относительно прямой l, сначала проведите из A перпендикуляр к l. Найдите точку пересечения перпендикуляра с прямой — она будет основанием. Измерьте расстояние от A до основания и отложите такое же расстояние за прямой l. Полученная точка и есть B: основание перпендикуляра делит AB пополам, а сам AB перпендикулярен оси.

Для отражения фигуры достаточно построить образы её вершин, потому что стороны многоугольника соединяют именно эти вершины. От каждой вершины проведите перпендикуляр к оси и перенесите её на равное расстояние за ось. Затем соедините образы в том порядке, в каком шли вершины исходной фигуры: иначе стороны пересекутся или получится другой контур. Длины сторон и углы сохранятся, поскольку отражение не растягивает и не сжимает фигуру.

При осевой симметрии все точки отражаются относительно прямой, словно в зеркале. Центральная симметрия задаётся точкой: соответствующие точки лежат с ней на одной прямой, а центр делит соединяющий их отрезок пополам. Такое преобразование можно представить как поворот фигуры на 180 градусов вокруг центра. Поэтому осевая симметрия связана с отражением, а центральная — с поворотом.

У фигуры может быть одна ось, несколько осей или ни одной: это зависит от того, какие части и при каком складывании совпадают. Например, равнобедренный треугольник имеет одну ось, а прямоугольник — две; квадрат имеет четыре. Центр симметрии тоже есть не у каждой фигуры: у параллелограмма это точка пересечения диагоналей, а у окружности — её центр. Похожих частей на вид недостаточно: преобразование должно действительно переводить фигуру в себя.

Сравнение осевой и центральной симметрии

Сначала определите, чем задано преобразование: прямой или точкой. Затем проверьте, как расположены исходные точки и их образы, и соотнесите это с геометрическим действием. Примеры помогают ориентироваться, но свойства конкретной фигуры лучше проверять построением.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из данных фигур имеют ось симметрии, и проведите все оси. Рисунки фигур в условии не заданы, поэтому применим способ проверки к каждой фигуре отдельно. Ищем не просто похожие части, а прямую, по которой они совпали бы при складывании.

1. Наметьте прямую, которая могла бы делить фигуру на зеркальные части: например, через вершину и середину противоположной стороны.
2. Представьте складывание по этой прямой. Проверьте, совпадают ли контуры и находятся ли парные точки на перпендикулярах к прямой на равных расстояниях.
3. Если проверка проходит, проведите эту ось и повторите поиск в других направлениях. Если хотя бы одна пара точек не совпадает, данная прямая осью не является.

Ответ: оси проводят только у тех фигур, части которых точно совпадают при складывании; число осей зависит от самих изображённых фигур. Проверка одной предполагаемой оси ещё не доказывает, что других осей нет.

Задача 2. Постройте точку B, симметричную точке A относительно прямой l, а затем проверьте построение. Данные точки и прямая могут быть расположены по-разному, но способ остаётся тем же. Главное — перенести расстояние именно по перпендикуляру к l.

1. Через A проведите перпендикуляр к l и обозначьте его пересечение с прямой буквой H.
2. Измерьте AH. На продолжении прямой AH за l отложите от H отрезок такой же длины и отметьте конец B.
3. Проверьте, что AH = HB и что AB перпендикулярен l. Тогда H — середина AB, а l является серединным перпендикуляром к этому отрезку.

Ответ: точка B, построенная по другую сторону l на расстоянии AH от основания H. Если прямая или расстояния проведены неточно, симметричная точка тоже окажется построена неточно.

Задача 3. Достройте половину многоугольника до фигуры, симметричной относительно заданной оси, и назовите получившуюся фигуру. Поскольку конкретная половина многоугольника не задана, её название нельзя определить заранее. Можно выполнить построение и узнать название по получившемуся контуру.

1. Для каждой известной вершины проведите перпендикуляр к оси и отметьте её образ на таком же расстоянии с другой стороны.
2. Если край половины пересекает ось, точки пересечения оставьте на месте: они не перемещаются при отражении.
3. Соедините образы вершин, сохраняя порядок обхода исходного контура. Проверьте равенство расстояний парных вершин до оси и сравните получившуюся форму с известными многоугольниками.

Ответ: достроенная фигура и её название определяются исходной половиной; без её контура название указать нельзя. Правильно отражённые вершины вместе с исходной частью дают симметричную фигуру.

Типичные ошибки

• Отрезок между соответствующими точками проводят не перпендикулярно оси, ориентируясь только на похожий вид рисунка. Так бывает, когда построение делают на глаз и не проверяют направление. Проведите перпендикуляр угольником: соединяющий точки отрезок должен пересекать ось под прямым углом.

• По разные стороны оси откладывают неодинаковые расстояния. Ошибку допускают, если измеряют от разных мест или забывают, что ось должна быть серединным перпендикуляром. Проверьте, что расстояния от обеих точек до оси равны, а ось проходит через середину отрезка между ними.

• Построенные вершины соединяют в неправильном порядке, и контур получается другим или самопересекается. Это происходит, если соединять точки по их расположению на рисунке, а не по исходному обходу фигуры. Запишите порядок вершин исходного многоугольника и повторите его для их образов.

• Любую фигуру с двумя похожими частями называют симметричной, не проверяя ось или центр. Внешнее сходство может быть приблизительным, а соответствующие точки — находиться на разных расстояниях. Назовите предполагаемое преобразование и проверьте его свойства: равенство расстояний при отражении или середину отрезков при центральной симметрии.

Связь с другими темами

Для построения симметричных точек нужны понятия точки, прямой, отрезка, перпендикуляра и середины отрезка, а также умение измерять расстояния. Позже симметрия встретится при изучении координат, геометрических преобразований, свойств многоугольников и построений циркулем и линейкой. В окружающем мире её можно заметить в орнаментах, архитектуре, природе и чертежах. Геометрические правила помогают отличать точную симметрию от простого сходства.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему соответствующие точки.
• Точки на оси симметрии при отражении остаются на месте.
• Симметричную точку строят на таком же расстоянии от оси, как исходную, но по другую сторону.
• Центральная симметрия является поворотом на 180 градусов вокруг центра.
• У фигуры может быть несколько осей симметрии.
• Наличие симметрии подтверждают построением или проверкой совпадения соответствующих частей.