Урок 2 — 8 Формула пути

Определения и обозначения

Путь — длина траектории, пройденной движущимся телом; его обозначают латинской буквой s. Траектория — линия, по которой движется тело, а путь показывает длину пройденной части этой линии. Это обозначение нужно, чтобы кратко записывать условие задачи и отличать путь от других величин.

Скорость — путь, пройденный за единицу времени; её обозначают буквой v. Единицей времени может быть секунда, минута или час, поэтому скорость записывают, например, в метрах в секунду или километрах в час. Скорость помогает сравнивать движение и рассчитывать, какой путь будет пройден за заданное время.

Время движения — продолжительность движения; его обозначают буквой t. В условии задачи время может быть дано в секундах, минутах или часах. Эта величина нужна, чтобы определить, как долго тело двигалось, и связать продолжительность движения с пройденным путём.

Формула пути s = vt связывает путь, скорость и время при равномерном движении. Она показывает, как найти одну из этих величин, если две другие известны. Запись помогает быстро составить решение задачи, но сначала нужно проверить, подходит ли условие равномерного движения.

Как это устроено

При равномерном движении за одинаковые промежутки времени тело проходит одинаковые пути. Например, если за каждый час оно преодолевает 5 км, то за два последовательных часа пройдёт по 5 км в каждом. Поэтому скорость остаётся постоянной: она не становится больше или меньше от одного промежутка к другому.

Скорость показывает, какой путь тело проходит за одну единицу времени. Если скорость равна v, то за один промежуток времени, принятый за единицу, тело проходит путь длиной v. За t таких промежутков оно пройдёт столько же одинаковых отрезков пути, поэтому и возникает умножение скорости на время.

Из смысла скорости следует формула пути s = vt: путь равен скорости, умноженной на время. Например, при скорости 6 км/ч за 4 ч тело проходит 6 · 4 км. При этом важно, что скорость сохраняется на всём рассматриваемом отрезке движения, а не только в его начале.

Если известны путь и время, скорость находят делением: v = s : t. Действительно, нужно выяснить, какая часть общего пути приходится на каждую единицу времени. Если известны путь и скорость, время находят делением: t = s : v, потому что так можно определить, сколько отрезков длиной v содержится в пути s.

Единицы величин должны быть согласованы, иначе запись формулы не даст верного численного ответа. При скорости в километрах в час время выражают в часах: например, 30 минут сначала переводят в 0,5 часа. Тогда умножение км/ч на ч даёт километры, то есть единицу пути, и результат можно правильно истолковать.

Величины в формуле пути

Сначала найди в условии известные величины и отметь, какую нужно определить. Затем выбери соответствующую формулу из третьего столбца. Перед вычислением сверь единицы: например, километры и часы подходят для скорости в км/ч.

Разбор задач

Пешеход шёл равномерно со скоростью 4 км/ч в течение 3 ч. Какой путь он прошёл?

Из условия известны скорость и время, а требуется найти путь. Значит, подходит формула s = vt. Скорость дана в километрах в час, а время — в часах, поэтому единицы согласованы и переводить их не нужно.

1. Запишем формулу пути: s = vt.
2. Подставим данные: s = 4 · 3.
3. Вычислим произведение и укажем единицу пути: s = 12 км.

Ответ: пешеход прошёл 12 км. Проверка смысла: за каждый из трёх часов он проходит по 4 км, вместе это 4 + 4 + 4 = 12 км.

Автомобиль проехал 180 км за 3 ч. Найдите его скорость, считая движение равномерным.

Здесь дан путь, а также время, за которое он пройден. Требуется узнать путь за один час, то есть скорость. Поэтому нужно разделить общий путь на время, а не умножать эти величины.

1. Запишем формулу для скорости: v = s : t.
2. Подставим данные задачи: v = 180 : 3.
3. Вычислим: v = 60 км/ч.

Ответ: скорость автомобиля равна 60 км/ч. Проверим результат обратным действием: за 3 ч при такой скорости автомобиль проедет 60 · 3 = 180 км, как и указано в условии.

Велосипедист двигался со скоростью 12 км/ч в течение 1 ч 30 мин. Какой путь он прошёл?

Чтобы использовать s = vt, нужно выразить время в часах, поскольку скорость дана в км/ч. 1 ч 30 мин — это 1,5 ч: 30 минут составляют половину часа. Если подставить число 30 без перевода, единицы времени не будут соответствовать единицам скорости.

1. Переведём время: t = 1 ч 30 мин = 1,5 ч.
2. Запишем формулу и подставим значения: s = vt = 12 · 1,5.
3. Вычислим: s = 18 км.

Ответ: велосипедист прошёл 18 км. Проверить результат можно так: за один час он проехал 12 км, а за половину часа — ещё 6 км; всего 12 + 6 = 18 км.

Типичные ошибки

Иногда в формуле s = vt вместо скорости умножают путь на время. Так случается, когда буквы и смысл величин ещё не различают. Перед вычислением назови величины словами: путь равен скорости, умноженной на время, а единица результата должна быть единицей пути.

При поиске скорости могут умножить путь на время вместо деления. Ошибка возникает из-за того, что запоминают формулу только для нахождения пути и не преобразуют её для другого вопроса. Проверь себя подстановкой: если v = s : t, то v · t должно давать исходный путь s.

Ещё одна ошибка — подставить скорость в км/ч и время в минутах без перевода. Например, умножение 12 км/ч на 90 минут не даёт путь в километрах, потому что часы и минуты здесь не согласованы. Переведи минуты в часы или скорость в подходящие единицы, а затем проверь, что единицы времени сокращаются.

Формулу s = vt иногда считают подходящей для любого движения. Но при изменяющейся скорости один и тот же путь за каждую единицу времени уже не получается, поэтому простое умножение может быть неверным. Проверь условие: если в задаче сказано, что скорость постоянна или движение равномерное, формулу применять можно; иначе нужны дополнительные сведения.

Связь с другими темами

Для решения задач на путь полезны умножение и деление величин, чтение условия и перевод единиц длины и времени. Эти умения помогают выбрать нужную формулу, правильно подставить данные и записать ответ в подходящих единицах. Особенно часто приходится переводить минуты в часы или метры в километры.

Формула пути используется и в задачах на встречное и противоположное движение. В них сначала можно отдельно определить путь каждого участника по его скорости и времени. Затем найденные пути рассматривают вместе, учитывая, движутся ли участники навстречу друг другу или в разные стороны.

Что запомнить

• При равномерном движении скорость постоянна.
• Путь обозначают буквой s, скорость — v, время — t.
• Формула пути: s = vt.
• Скорость находят по формуле v = s : t.
• Время находят по формуле t = s : v.
• Перед вычислением нужно согласовать единицы измерения.