"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Чтобы умножить число на двузначный множитель, его удобно представить как сумму десятков и единиц. Затем умножить исходное число отдельно на каждое слагаемое и сложить полученные результаты. Так работает распределительное свойство умножения, а письменная запись помогает не перепутать разряды. Разберём алгоритм, вычисления столбиком и способы проверить ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначный множитель — число от 10 до 99, на которое умножают; его можно представить как сумму десятков и единиц. Например, 27 = 20 + 7. Такое представление помогает выполнять умножение по частям и следить за разрядами.
Разрядные слагаемые — слагаемые, на которые раскладывают число по разрядам, например 34 = 30 + 4. Число 30 показывает значение цифры десятков, а 4 — значение цифры единиц. Разложение подсказывает, на какие части удобно заменить умножение на весь множитель.
Неполное произведение — результат умножения числа на одно из разрядных слагаемых второго множителя. Если множитель 34, такими результатами будут произведения на 30 и на 4. Их считают отдельно, чтобы затем получить общий ответ.
Письменное умножение на двузначное число — способ найти произведение, отдельно умножив на десятки и единицы второго множителя, а затем сложив результаты. В записи столбиком каждый результат занимает свою строку. По расположению строк удобно проверять, учтено ли значение разрядов.
Двузначный множитель удобно разложить на десятки и единицы, потому что эти части имеют понятные разрядные значения. Например, в числе 24 цифра 2 означает 20, а не 2 единицы, поэтому 24 = 20 + 4. Если сначала умножить на 20, а потом на 4, можно отдельно вычислить вклад десятков и единиц в общий результат. Такое разложение помогает не смешивать разряды при письменной записи.
В основе способа лежит распределительное свойство умножения относительно сложения: a × (b + c) = a × b + a × c. Оно означает, что число можно умножить на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить произведения. Если двузначный множитель разложить на десятки и единицы, формула сразу превращается в алгоритм умножения по частям. Например, при умножении на 24 получаем a × 24 = a × 20 + a × 4.
Первое неполное произведение находят, умножая исходное число на цифру единиц второго множителя. Каждую цифру исходного числа умножают по разрядам, начиная с единиц, и при необходимости переносят десятки в следующий разряд. Так вычисляется часть результата, связанная с единицами множителя. В столбик эту строку обычно записывают сразу под первым множителем.
Второе неполное произведение находят умножением на цифру десятков, но её разрядное значение нужно обязательно учитывать. Например, цифра 3 в числе 34 означает 30, поэтому результат умножения на неё должен соответствовать умножению на 30. При записи столбиком вторую строку сдвигают на один разряд влево, то есть начинают под разрядом десятков. Такой сдвиг заменяет запись нуля в конце результата умножения на десятки.
Неполные произведения складывают, потому что вместе они дают произведение исходного числа на сумму разрядных слагаемых. Если одно из них пропустить, часть результата потеряется; если неправильно поставить строку, сложатся значения разных разрядов. После сложения полезно разделить ответ на один из множителей: должно получиться другое число. Дополнительно можно округлить множители и прикинуть ожидаемый порядок результата.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Записать множители столбиком | Расположить числа одно под другим, разряды выровнять справа. | Второй множитель должен быть записан под первым. |
| Умножить на цифру единиц второго множителя | Вычислить первое неполное произведение. | Начинать с единиц и выполнять переносы. |
| Умножить на цифру десятков второго множителя | Вычислить второе неполное произведение. | Учитывать, что цифра обозначает десятки. |
| Записать второе неполное произведение со сдвигом на разряд | Начать запись под разрядом десятков. | Не выравнивать эту строку с первой по единицам. |
| Сложить неполные произведения и проверить ответ | Получить произведение и оценить его или выполнить проверку делением. | Не пропустить строку и правильно сложить разряды. |
Пользуйся таблицей по порядку: сначала вычисли и запиши произведение на единицы, затем — на десятки. Перед сложением проверь, что вторая строка сдвинута на один разряд. В конце оцени результат или проверь его обратным действием.
Разложим множитель 14 на 10 и 4, чтобы применить распределительное свойство. Сначала умножим 23 на единицы, затем — на десятки, после чего сложим результаты. Важно не принять цифру 1 в числе 14 за одну единицу: она обозначает один десяток.
Ответ: 322. Проверка разложением даёт 23 × (10 + 4) = 23 × 10 + 23 × 4 = 230 + 92. Получилось то же число, значит, части произведения сложены верно.
Множитель 26 состоит из 20 и 6, поэтому появятся два неполных произведения. В столбик сначала вычислим результат умножения на единицы, затем на десятки. При вычислении на 20 последнюю строку сдвигаем на один разряд, потому что второй множитель обозначает именно 20.
Ответ: 9022. Для проверки вычислим 347 × 20 = 6940 и 347 × 6 = 2082, затем сложим. Такой способ подтверждает и само значение второй строки, и итоговую сумму.
Разложим 43 на 40 и 3. В первом множителе есть ноль, поэтому особенно внимательно выполним умножение по разрядам: нулевой разряд даёт нулевой вклад, но остальные разряды числа сохраняются. Второе неполное произведение запишем со сдвигом, так как цифра 4 обозначает 40.
Ответ: 21 844. Приблизительная оценка равна 20 000, а точный ответ немного больше — это ожидаемо, поскольку исходные множители немного больше округлённых значений. Если при записи результата получилось бы число, сильно отличающееся от оценки, стоило бы перепроверить разрядный сдвиг и сложение.
Второе неполное произведение иногда записывают без сдвига на разряд, из-за чего десятки ошибочно считают единицами. Так бывает, если смотреть только на цифру второго множителя и забыть её место в записи. Проверь, что строка для десятков начинается под десятками, а результат соответствует умножению на круглое число, например на 20.
Ещё одна ошибка — умножать только на цифры второго множителя, не учитывая их разрядное значение. Например, умножение на цифру 3 в числе 34 должно давать произведение на 30, а не на 3. Ошибку помогает заметить разложение множителя на десятки и единицы. Сравни второе неполное произведение с результатом умножения на соответствующее круглое число.
При умножении в разряде может получиться число больше 9, и тогда часть результата нужно перенести дальше. Если перенос забыть или прибавить не к тому разряду, неполное произведение изменится. После вычисления каждой строки проверь перенос отдельно: записывается цифра единиц, а десятки учитываются при вычислении следующего разряда.
При сложении можно ошибиться в переносе или пропустить одно из неполных произведений. Обычно это происходит, когда строки сложены невнимательно либо записаны со сдвигом. Проверь каждую строку умножения отдельно, затем сложи столбиком по разрядам. Для дополнительной проверки оцени порядок ответа или раздели итог на один из множителей.
Для письменного умножения нужны знание таблицы умножения, умение умножать столбиком на однозначное число и понимание разрядного состава многозначного числа. Эти знания позволяют вычислить каждое неполное произведение и правильно разместить его в записи. Основа алгоритма — распределительное свойство умножения относительно сложения. Позже этот способ пригодится при умножении многозначных чисел, вычислениях с величинами и решении текстовых задач.
Почему при умножении на десятки второе неполное произведение записывают со сдвигом?
Цифра десятков обозначает не отдельные единицы, а десятки. Поэтому результат умножения на неё записывают со сдвигом на один разряд влево: это равносильно умножению на число десятков, например на 20, а не на 2.
В каком порядке умножать на цифры двузначного множителя?
Обычно сначала умножают на цифру единиц, затем — на цифру десятков. Такой порядок удобен для записи столбиком: первое неполное произведение пишут под исходным числом, второе — со сдвигом на разряд.
Что делать, если при умножении в разряде получается число больше 9?
В этом разряде записывают цифру единиц результата, а десятки переносят в следующий разряд. При умножении следующего разряда перенесённое число прибавляют к полученному произведению.
Как не ошибиться, если в одном из множителей есть ноль?
При умножении по разрядам учитывай все цифры, в том числе ноль: произведение на ноль в соответствующем разряде равно нулю. Следи и за разрядом второй цифры множителя — ноль в записи не отменяет сдвиг при умножении на десятки.
Как проверить результат умножения на двузначное число?
Можно разделить полученное произведение на один из множителей и проверить, получается ли второй. Ещё один способ — округлить множители и оценить примерный результат: точный ответ должен быть близок к этой оценке.
Урок 9 Умножение на двузначное число
