Урок 3. Ломаная линия. Многоугольник

Определения и обозначения

Ломаная линия — линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков. Чтобы получить её, соединяют конец одного отрезка с концом следующего, не оставляя разрывов. Например, точки A, B, C и D можно соединить отрезками AB, BC и CD, получив ломаную ABCD. Это определение помогает отличать ломаную от отдельного отрезка и описывать её по порядку точек.

Звено ломаной — каждый отрезок, из которых составлена ломаная линия. В ломаной ABCD звеньями будут AB, BC и CD, потому что именно эти отрезки соединяют соседние точки. Звенья показывают, из каких частей построена линия, и позволяют посчитать её длину, если известны длины отрезков. Называя их, соблюдай порядок соединения точек.

Вершина ломаной — точка соединения двух соседних звеньев или конец ломаной. В ломаной ABCD точка B соединяет звенья AB и BC, а A и D являются её концами. Вершины — это точки, а не отрезки, поэтому их нельзя путать со звеньями. По вершинам удобно называть ломаную и описывать, как она проходит.

Многоугольник — замкнутая ломаная линия вместе с областью, которую она ограничивает. Например, если последовательно соединить точки A, B, C, D и снова A, получится замкнутый контур; вместе с областью внутри он образует многоугольник. В этом определении важно учитывать не только линию, но и ограниченную ею часть плоскости. Оно позволяет отличить многоугольник от просто замкнутой границы.

Как это устроено

Чтобы построить ломаную, выбирают точки и соединяют их отрезками по порядку: сначала первую со второй, затем вторую с третьей и так далее. Соседние звенья должны иметь общий конец, иначе между ними появится разрыв и одна непрерывная линия не получится. Поэтому порядок соединения важен: набор тех же отрезков, расположенных иначе, может дать другую фигуру. Например, последовательность A—B—C—D задаёт звенья AB, BC и CD.

Вершины помогают определить, какие отрезки являются звеньями. Если точки записаны по порядку как A, B, C, D, соединяются только соседние в записи пары: AB, BC и CD. Чтобы посчитать звенья, можно перечислить эти пары или посчитать переходы от одной точки к следующей; здесь их три. Концевые точки тоже относятся к вершинам ломаной, хотя у незамкнутой линии к каждой из них подходит только одно звено.

Ломаная бывает незамкнутой или замкнутой в зависимости от того, совпадают ли её концы. У незамкнутой линии есть отдельное начало и отдельный конец, потому что последний отрезок не возвращается к исходной точке. У замкнутой последний конец соединён с началом, и при обходе контура можно вернуться туда, откуда вышли. Эта проверка нужна, чтобы понять, может ли линия ограничивать многоугольник.

Замкнутая ломаная без разрывов отделяет внутреннюю область от внешней: нельзя выйти из неё наружу, не пересекая границу. Поэтому многоугольник включает и саму границу, и область внутри неё. Каждое звено замкнутой ломаной становится стороной многоугольника, поскольку оно составляет часть его контура. Например, звенья AB, BC, CD и DA образуют четыре стороны фигуры ABCD.

У каждого звена многоугольника есть концы-вершины, и при обходе контура соседние стороны встречаются в одной вершине. Поэтому число сторон и число вершин совпадает: сторонам соответствуют промежутки между соседними вершинами. У пятиугольника пять сторон и пять вершин, а не четыре, даже если последняя вершина при записи повторяется, чтобы показать замыкание. При подсчёте повторённое название начальной точки не считают новой вершиной.

Сравнение ломаной линии и многоугольника

Сначала сравни, что именно рассматривается: только линия из звеньев или линия вместе с областью внутри неё. Затем проверь замкнутость и посчитай стороны и вершины, не повторяя начальную точку. Таблица помогает не смешивать свойства ломаной и многоугольника.

Разбор задач

Задача 1. По изображённой последовательности точек A, B, C, D назвать ломаную, её звенья и вершины.

Будем считать, что точки соединены именно в указанном порядке: от A к B, затем к C и к D. Название ломаной записывают по последовательности её вершин, поэтому переставлять буквы нельзя. Теперь можно отдельно перечислить отрезки и точки. Это помогает не спутать звенья с вершинами.

1. Прочитаем маршрут: A—B—C—D.
2. Запишем каждую соседнюю пару точек: AB, BC, CD. Это и есть звенья.
3. Перечислим точки, через которые проходит линия: A, B, C, D. Это вершины, включая начало и конец.

Ответ: ломаная ABCD; звенья AB, BC, CD; вершины A, B, C, D. В ней три звена и четыре вершины, поскольку линия незамкнута. Проверка: у каждой соседней пары в записи есть общий конец.

Задача 2. Определить, является ли фигура ABCD ломаной линией или многоугольником, если отрезки AB, BC, CD и DA соединены последовательно.

Сначала посмотрим на переходы между отрезками: AB переходит в BC, тот — в CD, а затем CD соединяется с DA. Последний отрезок заканчивается в A, то есть в начальной точке первого отрезка. Значит, линия замкнулась, но для полного названия фигуры нужно учесть также область внутри. Это отличает многоугольник от одной только ломаной.

1. Запишем обход: A—B—C—D—A.
2. Сравним начало и конец: оба обозначены точкой A, поэтому ломаная замкнута.
3. Учитываем область, ограниченную контуром: замкнутая ломаная вместе с ней является многоугольником.

Ответ: отрезки образуют замкнутую ломаную ABCDA, а вместе с ограниченной областью — многоугольник ABCD. Его стороны — AB, BC, CD и DA, вершин — четыре. При подсчёте A в конце обхода не считают второй раз.

Задача 3. Начертить пятиугольник, назвать его вершины и стороны, а затем подсчитать количество сторон и вершин.

Пятиугольник должен иметь пять сторон, поэтому сначала отметим на плоскости пять точек A, B, C, D и E. Соединим соседние точки по кругу и последнюю точку E — с первой A. Так получим замкнутую ломаную из пяти звеньев; чтобы начертить обычный пятиугольник, расположим точки так, чтобы стороны не пересекались. Затем назовём стороны по концам соответствующих звеньев.

1. Проведём отрезки AB, BC, CD, DE и EA, замкнув контур.
2. Назовём вершины: A, B, C, D, E. Повторное A в записи обхода обозначает возвращение к началу, а не новую вершину.
3. Перечислим стороны по порядку: AB, BC, CD, DE, EA, затем посчитаем их и вершины.

Ответ: вершины A, B, C, D, E; стороны AB, BC, CD, DE, EA; пять сторон и пять вершин. Результат согласуется с названием фигуры: у пятиугольника пять сторон. Если получилось другое число, проверь, не пропустил ли ты отрезок EA.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать один отрезок ломаной линией. Так бывает, когда не замечают, что ломаная составлена из нескольких последовательно соединённых звеньев. Проверь число отрезков: один отрезок сам по себе ещё не образует ломаную в этом определении. Если отрезков несколько и они соединены концами по порядку, перед тобой ломаная.

Ошибка: перепутать звенья и вершины, например назвать точку B звеном. Путаница возникает потому, что оба понятия описывают части одной фигуры. Помни: звено — отрезок, а вершина — точка, где встречаются звенья, или конец линии. Для самопроверки перечисли отдельно названия отрезков и буквенные обозначения точек.

Ошибка: считать любую замкнутую фигуру многоугольником, не проверив её границу. Ученик может забыть, что многоугольник образуется именно замкнутой ломаной вместе с областью внутри. Проследи контур от начала: если он не возвращается в начальную точку, ломаная незамкнута. Если возвращается, убедись, что между соседними точками проведены отрезки, а не дуги.

Ошибка: пропустить первую точку или посчитать последнюю точку замкнутой ломаной как новую вершину. Это случается, когда считают буквы в записи обхода, не замечая, что начальная буква повторена для обозначения замыкания. Обойди контур и считай каждую вершину один раз, отмечая возвращение к старту отдельно. Затем проверь, совпадает ли число вершин с числом сторон.

Связь с другими темами

Для работы с ломаной нужны понятия точки и отрезка, умение находить концы отрезка и соединять точки по заданному порядку. Если эти действия знакомы, можно перейти от отдельных отрезков к целой фигуре и описать её буквами. Далее ломаные и многоугольники помогут изучать их виды, сравнивать фигуры и вычислять периметр. Периметр находят как сумму длин сторон, поэтому важно уметь распознавать каждую сторону и не пропускать звенья.

Что запомнить

• Ломаная линия состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называются звеньями.
• Точки соединения звеньев называются вершинами.
• У замкнутой ломаной начало и конец совпадают.
• Многоугольник образуется замкнутой ломаной вместе с ограниченной ею областью.
• Стороны многоугольника — это звенья его ломаной.
• У многоугольника число сторон равно числу вершин.