"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Выражение — это запись, составленная из чисел, букв, знаков действий и скобок. Оно помогает описывать вычисления и зависимости: например, стоимость нескольких одинаковых предметов можно записать с помощью переменной. Чтобы найти значение выражения, подставляют известные значения букв и выполняют действия в установленном порядке. При этом учитывают допустимые значения переменных: например, делить на ноль нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий и скобок. Например, 18 − 3 · 4 показывает, какие вычисления нужно выполнить. Такое выражение удобно, когда все известные величины уже заданы числами.
Буквенное выражение — запись, в которой вместе с числами и знаками действий используются буквы. Буквы обозначают переменные: их значения могут меняться. Например, 2a + 7 задаёт правило, по которому результат зависит от значения a.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Для буквенного выражения его находят при заданных значениях переменных. Это позволяет узнать результат для конкретных данных, не меняя сам способ записи.
Допустимые значения переменной — значения, при которых выражение имеет смысл. Например, в дроби 24/(x − 2) знаменатель не должен быть нулём, поэтому x не может равняться 2. Проверка допустимости помогает не выполнять невозможное действие и не получать бессмысленный результат.
Выражение строят из чисел или переменных, соединённых знаками действий; скобками можно выделить часть записи. Например, 3 · (a + 2) говорит, что сначала нужно найти сумму a и 2, а затем умножить её на 3. В выражении нет знака равенства, поэтому оно не сообщает, что две величины равны. Если поставить знак = и записать справа результат или другую величину, получится равенство.
Порядок действий нужен, чтобы одна запись давала один определённый результат. Если умножение и сложение без скобок выполнять в произвольном порядке, значение одной и той же записи могло бы меняться. Поэтому сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление слева направо, а после — сложение и вычитание слева направо. Скобки меняют обычный порядок: действие внутри них выполняют раньше действий вне скобок.
Чтобы найти значение буквенного выражения, вместо каждой переменной подставляют её заданное число, а затем вычисляют получившуюся числовую запись. Подстановка нужна потому, что буква сама по себе не задаёт конкретный результат: разные значения переменной могут дать разные ответы. Например, в выражении 2a + 7 при a = 5 сначала получают 2 · 5 + 7, а затем считают. Если значение переменной отрицательное, его удобно записывать в скобках, чтобы ясно видеть границы подставленного числа.
Перед подстановкой проверяют, допустимо ли данное значение переменной. Это необходимо, потому что некоторые действия определены не для всех чисел: деление на ноль невозможно. Например, в выражении 24/(x − 2) значение x = 2 обращает знаменатель в ноль. Значит, его нельзя подставлять, даже если остальные части записи вычисляются без затруднений.
Переменное выражение позволяет описать одну ситуацию для разных исходных данных. Например, если один предмет стоит a рублей, стоимость двух таких предметов выражает запись 2a. При цене 5 рублей результат равен 10 рублям, а при цене 8 рублей — 16 рублям. Так видно, что переменная задаёт изменяющуюся величину, а выражение показывает, как от неё зависит результат.
| Что рассматриваем | Пример | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| Числовое выражение | 18 − 3 · 4 | Выполнить действия по порядку | Умножение выполняется раньше вычитания |
| Буквенное выражение | 2a + 7 | Подставить значение переменной или оставить общую запись | Буква обозначает переменную |
| Значение выражения при заданных переменных | 2a + 7 при a = 5 | Заменить a числом и вычислить | Соблюдать порядок действий |
| Допустимые значения переменной | 24/(x − 2) | Найти значения, при которых выражение имеет смысл | Знаменатель не должен быть равен нулю |
Сначала определи, какой объект рассматривается: готовая числовая запись, выражение с буквами или выражение с ограничениями. Затем выбери действие из третьего столбца. Последний столбец напоминает, какую особенность нельзя упустить при вычислении.
Задача 1. Вычислить значение выражения 18 − 3 · 4. Здесь есть вычитание и умножение, но скобок нет. Поэтому нельзя сразу считать действия слева направо: сначала нужно выполнить умножение, которое имеет приоритет.
Ответ: 6. Сначала выполненное умножение определило, какое число нужно вычесть из 18.
Задача 2. Найти значение выражения 2a + 7 при a = 5. Буква a здесь обозначает известное по условию число, поэтому заменим её на 5. После подстановки останется числовое выражение, которое можно вычислить.
Ответ: 17. Если бы a имело другое значение, результат мог бы измениться, но правило вычисления осталось бы тем же.
Задача 3. Найти допустимые значения x и вычислить значение выражения 24/(x − 2) при x = 5. В дроби сначала проверяют знаменатель: он не может быть равен нулю. Это ограничение нужно выяснить до вычисления, чтобы случайно не выполнить деление на ноль.
Ответ: допустимые значения — все числа, кроме 2; при x = 5 значение выражения равно 8.
Выражение иногда принимают за равенство, хотя в нём нет знака =. Это происходит потому, что запись с действиями уже кажется законченной, но она только задаёт вычисление. Проверь запись: если между двумя частями нет знака равенства, это не утверждение об их равенстве.
Другая ошибка — выполнять все действия строго слева направо. Так поступают, перенося привычный порядок чтения на вычисление, и забывают, что умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Перед счётом отметь скобки и действия с более высоким приоритетом, а затем проверь, не нарушен ли порядок.
При подстановке отрицательного числа можно не поставить скобки и неверно прочитать полученную запись. Например, если a = −3, выражение 2a означает 2 · (−3), а не вычитание трёх из двойки. Записывай отрицательное значение в скобках и после подстановки перечитай выражение целиком.
Иногда переменную считают допустимым заменить любым числом, не проверяя знаменатель. Так забывают, что деление на ноль не определено. При дроби приравняй знаменатель к нулю и найди запрещённое значение; затем убедись, что выбранное число ему не равно.
Для работы с выражениями нужны навыки вычислений с натуральными числами, знание порядка действий и понимание роли скобок. Если эти основы не освоены, легко получить ошибку даже при правильной подстановке переменных. Буквенные выражения станут основой для формул, где одной записью описывают зависимость величин. Они также пригодятся при решении уравнений и преобразовании выражений.
Чем выражение отличается от равенства?
Выражение записывает числа, переменные и действия между ними, но ничего не утверждает о равенстве двух величин. В равенстве есть знак =, который связывает две части. Например, 2 + 3 — выражение, а 2 + 3 = 5 — равенство.
Как определить порядок действий в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем — умножение и деление слева направо, а после них — сложение и вычитание слева направо. Если скобок нет, этот порядок помогает получить единственный результат.
Что значит найти значение буквенного выражения?
Нужно заменить каждую букву заданным числом, а затем вычислить получившееся числовое выражение. При подстановке соблюдают порядок действий и учитывают знаки чисел. Если переменная встречается несколько раз, везде подставляют одно и то же значение.
Можно ли подставлять в выражение отрицательное число?
Да, если это значение допустимо для выражения. Чтобы не перепутать знак числа с действием вычитания, отрицательное значение обычно подставляют в скобках. Например, при a = −3 запись 2a становится 2 · (−3).
Почему у переменной бывают недопустимые значения?
При некоторых значениях переменной выражение теряет смысл. Например, знаменатель дроби не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Поэтому перед вычислением проверяют, не приводит ли подстановка к такому случаю.
Уроки 4-6. Выражения
