Урок  33. Больше, меньше

Определения и обозначения

Больше — отношение двух чисел или величин, при котором первое имеет больше единиц, чем второе. Например, 6 больше 4, потому что шесть предметов — это больше, чем четыре. Это понятие помогает упорядочивать числа и сравнивать количества.

Меньше — отношение двух чисел или величин, при котором первое имеет меньше единиц, чем второе. Например, 2 меньше 5: двух предметов недостаточно, чтобы получить пять. Слово «меньше» помогает точно описать, какое количество уступает другому.

Равно — отношение двух чисел или величин с одинаковым количеством единиц. Например, 4 равно 4, потому что оба числа обозначают четыре единицы. Понятие равенства нужно, чтобы показать совпадение количеств, а не просто соседство записей.

Знаки сравнения >, < и = обозначают отношения «больше», «меньше» и «равно». Запись 7 > 3 означает «семь больше трёх», а 2 = 2 — «два равно двум». Знаки позволяют коротко записывать результат сравнения и проверять, верно ли он сделан.

Как это устроено

Чтобы сравнить две группы предметов, можно пересчитать предметы в каждой и сопоставить полученные числа. Есть и другой способ: установить соответствие один к одному, то есть разложить предметы по парам. Если предмет в одной группе остался без пары, именно в этой группе предметов больше. Такой способ удобен, когда пересчитывать долго, но предметы можно хорошо разложить или рассмотреть.

На числовом отрезке числа располагаются по порядку, а при движении вправо их значения увеличиваются. Поэтому, если одно число находится правее другого, оно больше: например, 8 стоит правее 5, значит, 8 > 5. Этот способ работает потому, что числовой отрезок сохраняет порядок чисел. Он особенно полезен, когда хочется проверить сравнение без пересчёта предметов.

Фразы «5 больше 3» и «3 меньше 5» описывают одно сравнение, но называют числа в разном порядке. Коротко его можно записать как 5 > 3 или 3 < 5. В записи числа читают слева направо: сначала называют число слева, потом отношение и число справа. Поэтому при перестановке чисел меняется и знак.

У знака > открытая сторона направлена к большему числу, а острие — к меньшему. В записи 9 > 4 широкий угол раскрывается к девяти, а острие указывает на четыре. У знака < всё так же: в 4 < 9 его открытая сторона обращена к девяти. Это правило помогает выбрать знак по положению чисел, не полагаясь на то, как он называется.

Чтобы составить верное равенство или неравенство, сначала выясни значения чисел и только потом выбирай знак. Например, если в записи 6 __ 9 пропуск предназначен для знака, нужно определить, что 6 меньше 9, и поставить <. Проверить результат можно обратной заменой: прочитай запись словами или подставь значения вместо пропусков. Если смысл записи соответствует числам, сравнение верное.

Сравнение чисел и величин

Сначала выбери строку, которая подходит к ситуации, а затем проверь, совпадает ли пример со словесной записью. Последний столбец подсказывает способ проверки: по числовому отрезку, значениям чисел или количеству предметов. Для обратной записи поменяй числа местами и замени знак на противоположный.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить количество кружков в двух группах и поставить знак >, < или =. Пусть в первой группе пять кружков, а во второй — три. Нужно не угадывать по тому, как расположены кружки, а установить, совпадают ли количества. Сравним их и запишем отношение между первой и второй группами.

1. Сопоставим кружки попарно: каждому из трёх кружков второй группы подберём один кружок из первой.
2. В первой группе останутся два кружка без пары. Значит, в ней предметов больше.
3. Запишем сравнение в порядке, заданном условием: 5 > 3. Проверка пересчётом даёт те же количества: пять больше трёх.

Ответ: в первой группе кружков больше; 5 > 3. Если в группах получилось бы одинаковое число предметов, следовало бы поставить знак =, а если бы предметов оказалось больше во второй группе — знак <.

Задача 2. Сравнить числа 7 и 4, записать результат знаками и прочитать его двумя способами. Сначала найдём положение чисел на числовом отрезке. Затем запишем сравнение, сохраняя порядок чисел из условия, и составим обратную запись. Так можно убедиться, что обе фразы сообщают об одном отношении.

1. Число 7 находится правее числа 4, поэтому 7 больше 4.
2. Записываем: 7 > 4. Знак открытой стороной обращён к семи — большему числу.
3. Переставляем числа и меняем знак: 4 < 7. Читаем записи: «семь больше четырёх» и «четыре меньше семи».

Ответ: 7 > 4; 4 < 7. Проверка по числовому отрезку подтверждает, что 7 расположено правее 4. Поэтому обе записи верны и выражают одно и то же сравнение.

Задача 3. Вставить пропущенное число или знак: 6 __ 9, __ < 5, 8 = __, и объяснить выбор. Здесь пропуски выполняют разные роли: в первом примере нужен знак, а в двух других — число. Для каждого случая достаточно подобрать вариант, который соответствует смыслу сравнения или равенства.

1. Так как 6 меньше 9, в первой записи ставим знак < и получаем 6 < 9.
2. В записи __ < 5 нужно число меньше пяти. Например, подходит 4: получаем 4 < 5.
3. В записи 8 = __ числа должны обозначать одинаковое количество. Вставляем 8 и получаем 8 = 8.
4. Проверяем записи по числовому отрезку и по значению чисел: 6 левее 9, 4 меньше 5, а числа 8 совпадают.

Ответ: 6 < 9, 4 < 5, 8 = 8. В пропуск для неравенства могли подойти и другие числа меньше пяти, например 0, 1, 2 или 3. Выбор 4 — один верный вариант.

Типичные ошибки

Знаки > и < путают, если запоминают лишь их названия и не смотрят, куда обращена открытая сторона. В таком случае легко поставить знак, противоположный нужному. Проверь себя: открытая сторона должна быть около большего числа, а остриё — около меньшего. Например, в записи 8 > 3 открытая сторона обращена к восьми.

Иногда неравенство читают справа налево, но сохраняют прежний порядок слов. Так запись 4 < 9 ошибочно превращается в «девять меньше четырёх». Читай её слева направо или, меняя порядок чисел, одновременно замени знак: 9 > 4. Смысл обеих записей одинаковый.

Сравнивая числа, некоторые смотрят на длину их записи или на размер цифр. Но внешний вид записи сам по себе не говорит, какое число больше: сравнивать нужно значения чисел. Определи их положение на числовом отрезке или воспользуйся пересчётом. Такой способ проверки не зависит от того, как записаны числа.

Знак = иногда ставят между числами только потому, что они стоят рядом в примере. Равенство верно лишь тогда, когда оба числа обозначают одинаковое количество. Проверь их значения: например, 5 = 5 верно, а 5 = 3 — нет. Если количества различаются, нужно выбрать знак > или <.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать предметы и числа, нужно уметь считать и сопоставлять группы. Числовой отрезок помогает увидеть порядок чисел и проверить результат сравнения. Поэтому эти навыки полезно освежить до начала работы с неравенствами.

Сравнение используют, когда числа нужно расположить по порядку, решить неравенство или определить, какой результат вычисления больше. Оно помогает выбирать и объяснять решение, а не только записывать ответ. Позже тот же подход пригодится при сравнении величин.

Длину, массу, время и стоимость тоже сравнивают: выясняют, какая величина больше, меньше или равна другой. В таких задачах важно учитывать, что именно измеряется, и при необходимости сначала привести величины к одинаковым единицам. После этого результат можно записать словами или знаком сравнения.

Что запомнить

• Большее число на числовом отрезке расположено правее меньшего.
• Знак > означает «больше», знак < — «меньше», знак = — «равно».
• Открытая сторона знака обращена к большему числу.
• Одно и то же сравнение можно прочитать двумя взаимно обратными способами.
• Равные числа обозначают одинаковое количество.
• Верность неравенства можно проверить пересчётом или расположением чисел на числовом отрезке.