Уроки 31–32. Больше, меньше

Определения и обозначения

Сравнение чисел — определение, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Сравнение помогает установить порядок чисел и понять, какое значение больше. Его применяют и к числам, и к выражениям, и к величинам.

Знак больше ( > ) показывает, что число слева больше числа справа. Например, 7 > 5 означает, что семь больше пяти. Этот знак позволяет коротко записать результат сравнения.

Знак меньше ( < ) показывает, что число слева меньше числа справа. Запись 3 < 8 читают «три меньше восьми». Она удобна, когда нужно явно указать порядок чисел.

Неравенство — запись сравнения чисел с помощью знака > или <. Например, 9 > 4 и 2 < 6 — неравенства, потому что их части не равны. Если числа одинаковы, записывают равенство со знаком =, а не неравенство.

Как это устроено

Чтобы сравнить количества предметов, сопоставь предметы из двух групп попарно: каждому предмету первой группы подбери один предмет второй. Так сразу видно, хватает ли предметов в обеих группах для всех пар. Если после сопоставления в одной группе что-то осталось, именно там предметов больше; в другой группе их меньше. Например, если к каждой из четырёх чашек удалось подобрать блюдце, но одно блюдце осталось без пары, блюдец больше.

Числа можно сравнивать по их расположению на числовом отрезке. На нём числа увеличиваются слева направо, потому что каждое следующее число при счёте на единицу больше предыдущего. Поэтому из двух чисел больше то, которое расположено правее, а меньше то, которое левее. Этот способ особенно полезен, когда числа не представлены предметами, но их места на отрезке известны.

В знаке > или < одна сторона раскрыта шире, а другая сходится в острый угол. Раскрытая сторона обращена к большему числу, потому что как бы «вмещает» его, а остриё направлено к меньшему. Например, в записи 8 > 3 раскрытая сторона смотрит на 8, а угол — на 3. Если знак кажется непривычным, сначала найди большее число и направь к нему широкую сторону.

Одно сравнение можно выразить словами или математическими знаками. Фраза «семь больше пяти» превращается в запись 7 > 5: числа ставят в том же порядке, что и в предложении, а слова заменяют знаком. Читай запись слева направо, чтобы проверить, верно ли выбран знак. Если она читается «семь меньше пяти», запись не соответствует смыслу.

Равенство и неравенство сообщают разное: равенство утверждает, что значения одинаковы, а неравенство показывает, что одно значение больше другого. Чтобы проверить знак, сравни числа счётом или по их местам на числовом отрезке, а затем прочитай запись словами. Например, 6 < 9 верно, потому что 6 стоит раньше 9; запись 6 = 9 неверна. При равных числах ставь =, а знаки > и < не используй.

Сравнение чисел

Сначала определи, какое отношение нужно показать: больше, меньше или равенство. Затем выбери знак и проверь, что запись читается верно слева направо. Строки про предметы и числовой отрезок напоминают, что сравнение можно выполнить разными способами.

Разбор задач

Сравнить количество кружков в двух группах, расположив их попарно

В первой группе 5 кружков, во второй — 3. Нужно выяснить, в какой группе кружков больше, не полагаясь только на вид групп. Для этого поставим кружки попарно: один из первой группы напротив одного из второй. Оставшиеся без пары предметы покажут разницу между количествами.

1. Составим пары: каждому из трёх кружков второй группы подберём по кружку из первой. Получатся три пары, и во второй группе кружков больше не останется.
2. В первой группе останутся два кружка без пары. Значит, в ней предметов больше, ведь каждому кружку второй группы нашёлся соответствующий, а обратное неверно.
3. Сравним количества: 5 больше 3. Запишем результат знаком больше, направив раскрытую сторону к пяти.

Ответ: в первой группе больше кружков; 5 > 3.

Вставить знак >, < или =: 8 □ 5, 6 □ 9, 7 □ 7

В каждой записи нужно определить отношение между числами, а затем подобрать знак. Можно вспомнить порядок чисел при счёте: больше то число, которое встречается позже. Равные числа занимают одно и то же место в порядке, поэтому между ними ставят знак равенства.

1. Сравним 8 и 5: восемь при счёте идёт после пяти, значит, 8 больше 5. Получаем 8 > 5.
2. Сравним 6 и 9: шесть идёт раньше девяти, значит, 6 меньше 9. Получаем 6 < 9.
3. В последней паре оба числа равны семи. Поэтому ставим знак =, и запись выглядит так: 7 = 7.

Ответ: 8 > 5, 6 < 9, 7 = 7.

Составить и записать все верные неравенства с числами 4 и 9

Нужно использовать оба числа и составить верные записи со знаками больше и меньше. Сначала выясним, какое число больше: девять стоит правее четырёх на числовом отрезке. Затем рассмотрим оба возможных порядка чисел и подберём знак так, чтобы запись оставалась верной.

1. Поставим первым число 9, а вторым — 4. Девять больше четырёх, поэтому верная запись — 9 > 4.
2. Поменяем числа местами: 4 и 9. Четыре меньше девяти, поэтому получаем 4 < 9.
3. Прочитаем обе записи словами. Первая утверждает «девять больше четырёх», вторая — «четыре меньше девяти»; обе фразы верны.

Ответ: 9 > 4 и 4 < 9.

Типичные ошибки

Знаки > и < иногда путают, потому что запоминают только их внешний вид. Чтобы не ошибиться, сначала скажи, какое число больше, и поставь к нему раскрытую сторону знака. Затем прочитай запись слева направо: слова должны соответствовать знаку. Например, 5 < 8 должно читаться «пять меньше восьми».

Другая ошибка — направлять острый угол к большему числу. Так происходит, когда внимание сосредоточено на острие, а не на смысле сравнения. Найди большее число отдельно, например по числовому отрезку, и проверь, что именно к нему обращена широкая сторона знака. В записи 9 > 2 остриё смотрит на 2.

Иногда числа сравнивают по тому, как выглядят цифры или сколько в них элементов, а не по значению. Но форма цифры не говорит, какое число больше: цифра 8 не больше цифры 9 только потому, что выглядит крупнее. Сравни числа при счёте или расположи их на числовом отрезке. Например, 12 больше 9, хотя для записи 12 требуется две цифры.

Если количества одинаковы, нельзя ставить > или <. Такую ошибку допускают, когда не проверяют, остались ли предметы без пары, или невнимательно читают числа. Пересчитай предметы либо сверь числа по порядку и установи, равны ли они. Для одинаковых значений используют знак =, например 7 = 7.

Связь с другими темами

Для сравнения нужны умение считать предметы, читать и записывать числа, а также понимать порядок чисел на числовом отрезке. Эти знания помогают выбрать способ сравнения и проверить результат. Позже сравнение понадобится при работе с выражениями, решении неравенств и выборе большего или меньшего значения величины. В жизни мы сравниваем количество предметов, длину, массу, время и стоимость, чтобы принимать решения и оценивать результат.

Что запомнить

• Сравнить числа — значит узнать, какое из них больше, меньше или равно другому.
• На числовом отрезке большее число расположено правее меньшего.
• Знак > читают «больше», знак < — «меньше», знак = — «равно».
• Раскрытая сторона знака обращена к большему числу.
• Острый угол знака обращён к меньшему числу.
• При равных числах используют знак равенства.
• Запись со знаками > или < называют неравенством.