Уроки  7–8. Сравнение групп предметов.

Определения и обозначения

Группа предметов — совокупность предметов, которую рассматривают при сравнении по выбранному признаку. Например, можно выделить все яблоки на столе или все карандаши в пенале. Чтобы сравнение было точным, сначала решают, какие именно предметы входят в каждую группу. Иначе можно случайно сравнить разные предметы или пропустить часть группы.

Столько же — группы имеют одинаковое количество предметов; это проверяют, поставив каждому предмету одной группы в пару предмет из другой. Например, если каждому яблоку нашлась пара-груша и ни один предмет не остался, количества равны. Такой способ позволяет установить равенство, даже если предметы трудно пересчитать по отдельности. Для количеств равенство обозначают знаком «=».

Больше — в одной группе после составления пар остаются предметы, которым не нашлось пары в другой группе. Эти предметы показывают, что первая группа не исчерпалась, когда предметы второй уже закончились. Например, если непарными остались тетради, тетрадей больше, чем предметов в другой группе. Для чисел используют знак «>».

Меньше — в группе после составления пар не хватает предметов, чтобы сопоставить каждый предмет другой группы. Если все предметы этой группы уже получили пару, а в другой ещё есть непарные, в первой группе предметов меньше. Слова «больше» и «меньше» описывают одно сравнение с разных сторон. Для количеств меньшее число записывают со знаком «<».

Как это устроено

Чтобы сравнить группы, сначала определяют, какие именно предметы в них считают, а затем сопоставляют предметы по одному. Это нужно потому, что без чётких границ группы легко включить лишний предмет или забыть один из нужных. Например, при сравнении чашек и блюдец нельзя случайно добавить к чашкам ложку. Когда состав групп определён, пары позволяют проверять количество, не отвлекаясь на другие признаки.

Если каждому предмету первой группы можно подобрать ровно один предмет второй и наоборот, группы содержат поровну предметов. Условие «ровно один» не даёт одному предмету служить парой сразу для нескольких: иначе проверка перестаёт быть справедливой. Условие «и наоборот» означает, что ни вторая группа не должна оставить предметы без пары. Поэтому полный набор пар доказывает равенство количества, а не просто наличие похожих предметов.

Если после попарного сопоставления в одной группе остаются предметы без пары, в ней предметов больше; в другой группе — меньше. Причина проста: все предметы меньшей группы уже сопоставлены, но в большей ещё есть те, для которых пары не хватило. Чтобы сравнение было наглядным, сначала составляют пары, а затем рассматривают только остаток. Число оставшихся предметов показывает, на сколько количество одной группы отличается от количества другой.

Сравнение можно записать словами или знаками «=», «>», «<», если группы представлены числами, обозначающими количество предметов. Например, запись 4 = 4 сообщает, что количества одинаковы, а 5 < 7 — что пять меньше семи. При записи «5 < 7» знак раскрывается в сторону большего числа, поэтому меньшая величина стоит слева. Знаки помогают коротко передать результат сравнения, когда группы уже посчитаны.

Для сравнения важно не расположение предметов и не их размер, а количество; пары удобно составлять, чтобы не пересчитывать группы по-разному. Если раздвинуть одинаковое число предметов, ряд станет длиннее, но количество останется прежним. Предметы разного размера тоже можно сопоставить: яблоко и груша образуют пару не потому, что похожи, а потому, что каждый предмет учитывается один раз. Поэтому при сравнении следят за парами или пересчётом, а не за тем, сколько места занимают группы.

Как сравнить группы предметов

Сначала выбери строку, которая описывает результат составления пар, а затем прочитай вывод о количестве. В последнем столбце сравниваются именно числа предметов, а не сами предметы. Если группы пересчитаны, в запись вместо слов можно подставить соответствующие числа.

Разбор задач

Задача 1. На одной карточке нарисованы 4 яблока, на другой — 4 груши. Сравни количество предметов. Здесь предметы разные, но для ответа важны их количества, поэтому можно сопоставить яблоки и груши попарно. Проверим, удаётся ли составить пару для каждого предмета в обеих группах.

1. Выделим первую группу — яблоки, вторую — груши.
2. Составим пары: одному яблоку соответствует одна груша. Так как в каждой группе по 4 предмета, пары получатся для всех яблок и груш.
3. Непарных предметов не осталось, значит, количества равны: 4 = 4.

Ответ: яблок и груш поровну, по 4 предмета.

Задача 2. На столе лежат 5 карандашей и 7 тетрадей. Чего больше и на сколько? Чтобы не перепутать, сравним предметы по одному и проследим, какая группа закончится первой. Остаток покажет, насколько одно количество больше другого.

1. Составим пары «карандаш — тетрадь». Для пяти карандашей понадобятся пять тетрадей.
2. После составления пяти пар останутся две тетради без пары, потому что всего тетрадей семь.
3. Непарные предметы остались среди тетрадей, значит, тетрадей больше. Их на 2 больше, чем карандашей: 7 − 5 = 2.

Ответ: тетрадей больше на 2.

Задача 3. Для каждого из 6 учеников приготовили по одному стакану. Стаканов 5. Хватит ли стаканов всем и сколько не хватает? Здесь нужно проверить, можно ли каждому ученику поставить в пару отдельный стакан. Если ученики останутся без пары, им не хватит стаканов.

1. Составим пары «ученик — стакан», каждый стакан используем только один раз.
2. Пяти стаканам соответствуют пять учеников. Шестому ученику стакана не достанется.
3. Непарным остался один ученик, следовательно, не хватает одного стакана.

Ответ: стаканов всем не хватит, не хватает 1 стакана.

Типичные ошибки

Можно решить, что группа с крупными предметами больше. Так думают, потому что большие предметы заметнее и занимают больше места, но это не говорит об их количестве. Проверь себя: сопоставь предметы по одному или пересчитай их, не учитывая размер. Количество определяет число предметов, а не их величина.

Другая ошибка — сравнивать группы только по длине ряда. Если предметы раздвинуты, ряд удлиняется, хотя ни одного предмета не прибавилось. Расстояния между предметами меняют вид ряда, поэтому они не подходят для вывода о количестве. Для проверки составь пары или пересчитай предметы в каждой группе.

При составлении пар иногда один предмет сопоставляют сразу с несколькими или пропускают предмет. Так происходит, если двигаться невнимательно или не отмечать уже использованные предметы. В результате может показаться, что всем нашлась пара, хотя это не так. Проверь себя: у каждого предмета должна быть ровно одна пара, и ни один предмет нельзя использовать повторно.

Можно перепутать, в какой группе предметов больше, когда после сопоставления остались непарные предметы. Ошибка возникает, если смотреть на то, кому не хватило пары, вместо того чтобы заметить, где предметы остались. Больше предметов в той группе, где лежат непарные. Назови эту группу вслух и сравни результат с числом предметов в ней.

Связь с другими темами

Для сравнения групп нужно уметь выделять предметы и пересчитывать их по одному, не пропуская и не считая повторно. Сначала это помогает проверять результат сравнения, а затем — переходить к сравнению самих чисел. Количества записывают знаками «=», «>» и «<», опираясь на то, что показали пересчёт или пары. Навык попарного сопоставления пригодится в задачах, где нужно сравнить группы или выяснить, хватит ли предметов каждому.

Что запомнить

• Сравнивают количество предметов, а не их размер или расположение.
• Для сравнения удобно составлять пары.
• Если каждому предмету одной группы нашлась пара в другой, предметов поровну.
• Непарные предметы показывают, в какой группе предметов больше.
• Если предметов в первой группе больше, то во второй их меньше.
• Количество можно сравнить пересчётом или попарным сопоставлением.