1.23. Арифметические действия над числами

Определения и обозначения

Сложение объединяет числа; результат называется суммой, а числа — слагаемыми. Запись 8 + 5 = 13 показывает, что к восьми прибавили пять и получили тринадцать. Названия помогают понять, какие числа участвуют в действии, и составить выражение по условию задачи.

Вычитание — действие, обратное сложению; результат называется разностью, а уменьшаемое и вычитаемое — компонентами вычитания. В записи 13 − 5 = 8 число 13 уменьшают на 5. По разности и одному известному компоненту можно восстановить другой, поэтому вычитание нужно не только для сравнения, но и для поиска неизвестного.

Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых; результат называется произведением, а числа — множителями. Например, 4 · 3 означает сумму 4 + 4 + 4. Такая запись удобна, когда несколько одинаковых групп нужно посчитать быстрее, чем складывать по одной.

Деление — действие, обратное умножению; результат называется частным, а делимое и делитель — компонентами деления. В записи 12 : 3 = 4 число 12 делят на 3 равные части или выясняют, сколько троек содержится в 12. Деление помогает найти неизвестный множитель и распределить количество поровну.

Как это устроено

Сложение и умножение описывают объединение групп, но применяются в разных ситуациях. Если объединяют группы разного размера, складывают их количества: 4 + 3 — это четыре предмета и ещё три. Если группы одинаковые, например три коробки по четыре предмета, удобно записать 4 · 3 вместо 4 + 4 + 4. Поэтому выбор действия зависит от того, одинаковы ли объединяемые группы.

Вычитание и деление позволяют восстановить неизвестную часть связи между числами. Если известна сумма и одно слагаемое, другое находят вычитанием: из общей суммы убирают известную часть. Если известны произведение и один множитель, второй находят делением: выясняют, во сколько раз произведение больше известного множителя. Так обратные действия превращают неизвестный компонент в результат вычисления.

Проверка обратным действием работает потому, что оно отменяет исходное. Если из уменьшаемого вычесть число, прибавление этого числа возвращает исходное уменьшаемое: (a − b) + b = a. Если произведение разделить на один множитель, получится другой; поэтому деление проверяют умножением. При поиске неизвестного сначала определяют его роль в записи, а затем выбирают подходящее обратное действие.

Ноль и единица имеют особые свойства из-за смысла действий. Прибавить ноль — значит не добавить ничего, поэтому a + 0 = a; умножить на единицу — значит взять число один раз, поэтому a · 1 = a. При умножении на ноль не берётся ни одной группы, и произведение равно нулю: a · 0 = 0. Эти правила позволяют упрощать выражения, не выполняя лишних вычислений.

Деление на ноль не задаёт единственного результата. Частное должно быть числом, которое при умножении на делитель даёт делимое, но умножение на ноль всегда даёт только ноль: для ненулевого делимого подходящего числа нет, а при нулевом делимом подошло бы любое число. Поэтому делитель обязан быть ненулевым, хотя ноль делить на ненулевое число можно: 0 : a = 0 при a ≠ 0.

В выражении с несколькими действиями порядок вычислений нужен, чтобы у всех получился один и тот же результат. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Умножение и деление стоят раньше сложения и вычитания, потому что иначе запись без скобок могла бы иметь разные значения в зависимости от выбранного порядка.

Арифметические действия и их компоненты

В таблице удобно сначала найти название действия, а затем прочитать, как называются его числа и результат. Столбец обратного действия подсказывает способ проверки или поиска неизвестного компонента. В последней строке условие a ≠ 0 относится к делителю в записи 0 : a.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 48 + 27 и проверьте результат обратным действием.

1. Записываем сложение в столбик или разбиваем числа на десятки и единицы: 48 + 20 + 7.
2. Сначала прибавляем 20: 48 + 20 = 68, затем ещё 7: 68 + 7 = 75.
3. Для проверки вычитаем из суммы одно из слагаемых: 75 − 27 должно дать 48.
4. Вычитаем: 75 − 20 = 55, 55 − 7 = 48; исходное слагаемое получилось.

Ответ: 75. Проверка подтвердила, что сумма найдена верно, потому что обратное действие вернуло число 48.

Задача 2. Найдите значение выражения 72 : 8 + 5 · 3.

1. В выражении нет скобок, поэтому сначала выполняем деление и умножение, а сложение оставляем на потом.
2. Считаем деление: 72 : 8 = 9. Частное точно, так как 9 · 8 = 72.
3. Считаем умножение: 5 · 3 = 15. Теперь выражение заменилось на 9 + 15.
4. Складываем полученные значения: 9 + 15 = 24.

Ответ: 24. Если бы сложение выполнили первым, не соблюдая порядок действий, получилось бы другое значение. Разделение вычислений на шаги помогает не перепутать приоритет действий.

Задача 3. Найдите x: (x − 18) : 6 = 7.

1. Сначала выясняем, что означает запись: разность x − 18 разделили на 6 и получили 7. Чтобы восстановить разность, отменяем деление умножением: x − 18 = 7 · 6.
2. Вычисляем произведение: 7 · 6 = 42. Значит, x − 18 = 42.
3. Чтобы восстановить уменьшаемое x, прибавляем вычитаемое 18 к разности: x = 42 + 18 = 60.
4. Проверяем подстановкой: (60 − 18) : 6 = 42 : 6 = 7, равенство верно.

Ответ: x = 60. Мы отменяли действия в обратном порядке: сначала деление, затем вычитание. Проверка подстановкой показывает, что найденное число удовлетворяет исходному равенству.

Типичные ошибки

В натуральных числах иногда пытаются вычесть большее число из меньшего и записать отрицательный результат. Ошибка возникает, если забыть, что результат должен принадлежать рассматриваемому множеству: например, разность 3 − 8 не является натуральным числом. Перед вычислением проверьте, допускает ли множество такой результат; в целых числах он существует и равен −5.

Деление на ноль иногда считают равным нулю, путая его с умножением на ноль. Но при делении ищут число, которое после умножения на делитель даст делимое, а умножение на ноль не может дать ненулевое число. Проверяйте запись: делитель — число после знака деления — не должен быть равен нулю.

В выражении без скобок могут начать считать строго слева направо, например сначала сложить, а потом умножить. Так поступают по привычке, но умножение и деление имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание. Перед вычислением отметьте все действия и выполните сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Умножение на ноль и деление на ноль считают одинаковыми действиями и ожидают нулевой ответ в обоих случаях. При умножении ноль — множитель, поэтому произведение равно нулю; при делении ноль в роли делителя делает действие неопределённым. Чтобы не перепутать, проверьте положение нуля: после знака умножения или после знака деления.

Связь с другими темами

Для работы с действиями нужно понимать, какие числа рассматриваются: натуральные, целые или дробные. Именно числовое множество определяет, допустим ли результат вычитания, поэтому полезно проверять не только вычисление, но и принадлежность ответа. Смысл действий и таблица умножения помогают выполнять расчёты и проверять их обратными действиями. Те же навыки используются при работе с дробями, отрицательными числами, числовыми выражениями и уравнениями.

Что запомнить

• Вычитание проверяют сложением.
• Деление проверяют умножением.
• На ноль делить нельзя.
• Ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Скобки задают порядок выполнения действий.