3.39. Число нуль. Цифра 0

Определения и обозначения

Число нуль — число, обозначающее отсутствие предметов при счёте; на числовой прямой ему соответствует точка между отрицательными и положительными числами. Если в коробке не осталось яблок, их количество равно нулю. Это понятие позволяет записывать результат счёта, даже когда считать нечего.

Цифра 0 — знак, которым записывают число нуль, а также обозначают отсутствие единиц определённого разряда в записи числа. Например, в числе 205 цифра 0 показывает, что десятков нет. Благодаря ей запись сохраняет правильное положение цифр и передаёт нужное число.

Нейтральный элемент сложения — число 0: прибавление нуля не меняет число. Например, 8 + 0 = 8, поэтому нуль не увеличивает и не уменьшает слагаемое. Это свойство удобно для проверки и упрощения вычислений.

Нуль как результат вычитания — разность равных чисел: при вычитании числа из самого себя получается 0. Если из пяти предметов убрать все пять, ничего не останется. Это помогает связывать вычитание с поиском остатка.

Как это устроено

Понятие нуля возникает, когда при счёте предметов не обнаруживается ни одного. Например, если из корзины достали все груши, количество оставшихся груш можно назвать нулём. Без такого числа пришлось бы не записывать результат вовсе, и было бы трудно сравнивать количества или выполнять вычисления с пустыми наборами. Нуль превращает отсутствие количества в точное значение, с которым можно работать.

На числовой прямой числа располагаются по возрастанию: справа от нуля находятся положительные, а слева — отрицательные. Нуль служит границей между этими двумя группами, потому что он не больше самого себя и не меньше самого себя. Положительные числа больше нуля, отрицательные — меньше, а для нуля ни одно из этих условий не подходит. Поэтому нуль не считают ни положительным, ни отрицательным.

В десятичной позиционной записи значение цифры зависит от её места: одна и та же цифра может обозначать единицы, десятки или сотни. Нуль показывает, что в одном из разрядов единиц нет, но сам разряд пропускать нельзя, иначе соседние цифры займут другие места. В 205 нуль удерживает цифру 2 в разряде сотен, а цифру 5 — в разряде единиц. Поэтому запись 205 не равна 25: во втором числе цифра 2 обозначает десятки.

Прибавление нуля не добавляет предметов, поэтому число остаётся прежним: a + 0 = a. Вычитание нуля тоже ничего не убирает, значит, a − 0 = a; а если из количества вычесть всё это же количество, остатка не будет: a − a = 0. Умножение на нуль означает, что берут ноль одинаковых групп, поэтому предметов не получается и a · 0 = 0. Эти правила описывают разные действия: нуль сохраняет число при сложении и вычитании, но обнуляет результат умножения.

Деление на нуль не определено, потому что деление должно быть обратным умножению. Например, запись 12 : 0 означала бы поиск числа, которое при умножении на 0 даст 12. Но любое число, умноженное на 0, даёт 0, а не 12. Значит, такого числа нет и результат деления получить невозможно; даже 0 : 0 не имеет единственного ответа, поскольку умножение любого числа на 0 даёт 0.

Число нуль и цифра 0

Таблица помогает различать значение и знак: число — то, с чем выполняют действия, а цифра — то, чем его записывают. Сравнивая примеры, обращай внимание, обозначает ли нуль количество или занимает место в записи числа. Иногда одна цифра 0 выполняет сразу обе роли в зависимости от ситуации.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 47 + 0, 47 − 0 и 47 · 0. Здесь нужно определить, как нуль влияет на результат каждого действия. Сложение и вычитание с нулём не меняют число, но умножение устроено иначе. Разберём выражения отдельно, чтобы не перенести правило одного действия на другое.

1. В выражении 47 + 0 к числу 47 ничего не прибавляется, поэтому получаем 47.
2. В выражении 47 − 0 из 47 не убирают ни одной единицы, значит, остаётся 47.
3. В выражении 47 · 0 берут ноль групп по 47, поэтому произведение равно 0.

Ответ: 47 + 0 = 47; 47 − 0 = 47; 47 · 0 = 0. Проверка здравым смыслом подтверждает результат: добавление или удаление нуля предметов ничего не меняет. А ноль групп предметов означает, что предметов нет.

Задача 2. Вычислите 18 − 18 и объясните, почему результат равен нулю. В вычитании первое число показывает, сколько предметов было, а второе — сколько убрали. Здесь убирают ровно столько, сколько было изначально. Поэтому нужно найти остаток после удаления всего количества.

1. Записываем выражение: 18 − 18.
2. Уменьшаемое и вычитаемое одинаковы, значит, убираются все 18 единиц.
3. Оставшихся единиц нет, а их количество обозначается числом 0.

Ответ: 18 − 18 = 0. Результат равен нулю не потому, что любое вычитание даёт нуль, а потому, что вычитают всё исходное количество. Для проверки можно представить 18 предметов и мысленно убрать их все.

Задача 3. Объясните роль цифры 0 в числах 205 и 250 и выясните, можно ли вычислить 12 : 0. Сначала определим разряд каждой цифры, считая справа единицы, десятки и сотни. Затем проверим деление обратным действием — умножением. Такой порядок не позволит перепутать значение цифры с числом, которое она записывает.

1. В числе 205 цифра 2 обозначает сотни, 0 показывает отсутствие десятков, а 5 обозначает единицы.
2. В числе 250 цифра 2 обозначает сотни, 5 — десятки, а 0 показывает отсутствие единиц. Поэтому 205 и 250 — разные числа.
3. Для 12 : 0 нужно было бы найти такое число, которое при умножении на 0 даст 12. Но произведение любого числа на 0 равно 0, поэтому подходящего числа нет.

Ответ: нули в 205 и 250 обозначают отсутствие единиц в разных разрядах; 12 : 0 вычислить нельзя. Разрядное положение нуля меняет смысл всей записи числа. Деление невозможно, поскольку обратное умножение не может дать 12.

Типичные ошибки

Ошибка: считать 0 положительным или отрицательным числом. Так думают, потому что на прямой нуль соседствует с обеими группами чисел. Но положительные числа больше нуля, а отрицательные меньше него, поэтому сам нуль не входит ни в одну группу. Проверь себя сравнением: 0 не удовлетворяет ни условию x > 0, ни условию x < 0.

Ошибка: путать число нуль и цифру 0. Их обозначают одним знаком, поэтому может показаться, что это одно и то же. Число — математическое значение, а цифра — знак в записи; нуль в числе 205 показывает отсутствие десятков, но не означает, что всё число равно нулю. Чтобы проверить себя, спроси: речь идёт о количестве или о месте цифры в записи?

Ошибка: думать, что умножение на нуль не меняет число. Это правило переносят со сложения, где прибавление нуля действительно сохраняет слагаемое. Но умножение на 0 даёт 0: например, 47 · 0 = 0, а не 47. Проверяй действие по смыслу: ноль групп означает отсутствие предметов.

Ошибка: записывать результат деления на нуль. Иногда нуль принимают за обычный делитель и пытаются выполнить вычисление по привычному алгоритму. Проверка умножением показывает проблему: никакое число, умноженное на 0, не даст ненулевое делимое. Поэтому выражение с делением на нуль не имеет значения, а запись результата недопустима.

Связь с другими темами

Для понимания нуля нужны навыки счёта, знакомство с натуральными числами и числовой прямой, а также смысл сложения и вычитания: эти темы объясняют, что значит отсутствие количества и как получить остаток. Свойства нуля пригодятся при действиях с целыми и рациональными числами, раскрытии скобок и решении уравнений. Позиционная роль цифры 0 необходима, чтобы правильно читать и записывать многозначные числа и десятичные дроби.

Что запомнить

• Число нуль обозначает отсутствие предметов.
• Цифра 0 может обозначать число нуль или отсутствие единиц разряда.
• Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Прибавление и вычитание нуля не меняют число.
• Разность равных чисел равна нулю.
• Произведение любого числа на нуль равно нулю.
• Делить на нуль нельзя.