"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Длина — величина, которая показывает протяжённость предмета или расстояние между точками. Её можно сравнить с другой длиной и измерить, выбрав единицу: например, сантиметр или метр. Поэтому результат измерения записывают числом вместе с единицей. Одна и та же длина может выражаться разными числами: 1 м — это 100 см. Знание единиц помогает сравнивать отрезки и решать задачи о расстоянии, периметре и движении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Величина — свойство предмета или явления, которое можно сравнивать и измерять. Например, у предмета можно определить длину и сравнить её с длиной другого предмета. Это нужно, чтобы не только сказать, какой предмет длиннее, но и выразить различие числом.
Длина — величина, характеризующая протяжённость предмета или расстояние между двумя точками. У отрезка длина показывает, насколько далеко друг от друга расположены его концы. Благодаря этому понятию можно сравнивать размеры предметов и расстояния.
Единица длины — выбранная величина, с которой сравнивают измеряемую длину. Такой единицей может быть сантиметр, метр или другая установленная мера. Она нужна, чтобы результат измерения можно было записать и сопоставить с другими результатами.
Измерение длины — установление того, сколько раз единица длины содержится в измеряемом отрезке. Например, если в отрезке укладывается 7 сантиметров, его длина равна 7 см. Измерение позволяет заменить непосредственное сравнение числом и обозначением единицы.
Если два отрезка можно расположить рядом, их удобно сравнить непосредственно. Совместите начала отрезков и посмотрите на положение концов: конец более длинного отрезка окажется дальше. Так можно установить, какой отрезок длиннее, не выполняя вычислений.
Когда отрезки нельзя приложить друг к другу, сравнить их помогают измерения. Каждый отрезок измеряют одной и той же единицей, иначе полученные числа не будут сопоставимы напрямую. Например, измерьте оба отрезка в сантиметрах, а затем сравните числа сантиметров.
Число в записи длины зависит от выбранной единицы, потому что единицы имеют разный размер. Один метр состоит из ста сантиметров, поэтому длина, равная 1 м, записывается как 100 см. Сам предмет при этом не меняется: меняется только числовое значение, которым выражена его длина.
Общепринятые единицы нужны, чтобы результаты измерений понимали одинаково в разных местах и ситуациях. Основой метрической системы служит метр; связанные с ним единицы удобно переводить друг в друга. Миллиметры и сантиметры подходят для небольших длин, метры — для размеров помещений и расстояний, километры — для длинных маршрутов.
Соседние единицы длины связаны отношением 10: 10 мм составляют 1 см, 10 см — 1 дм, 10 дм — 1 м. В одном метре 100 см и 1000 мм, а в одном километре 1000 м. При переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается, потому что в той же длине помещается больше таких единиц; при переходе к более крупной оно уменьшается.
| Единица | Обозначение | Соотношение с метром | Соотношение с соседней единицей |
|---|---|---|---|
| миллиметр | мм | 1 мм = 0,001 м | 10 мм = 1 см |
| сантиметр | см | 1 см = 0,01 м | 1 см = 10 мм; 10 см = 1 дм |
| дециметр | дм | 1 дм = 0,1 м | 1 дм = 10 см; 10 дм = 1 м |
| метр | м | 1 м | 1 м = 10 дм; 1000 м = 1 км |
| километр | км | 1 км = 1000 м | 1 км = 1000 м |
Чтобы перевести длину, найдите в таблице соотношение нужных единиц и определите, во сколько раз они отличаются. При переходе к более мелкой единице умножайте числовое значение, а к более крупной — делите. Для сложения и вычитания сначала приведите все длины к одной единице.
Как сравнить два отрезка, если их можно расположить рядом? Например, пусть первый отрезок обозначен AB, а второй — CD. Непосредственное сравнение не требует линейки: важно точно совместить начала отрезков и оценить положение концов.
Такой способ показывает, какой отрезок длиннее, но не сообщает, на сколько именно. Если нужно числовое значение длины, воспользуйтесь линейкой с делениями. Ответ: длины сравнивают по положению концов после совмещения начал.
Выразим 4 м 7 см в сантиметрах, а 325 см — в метрах и сантиметрах. В первом случае нужно перевести метры в более мелкие единицы: в каждом метре 100 см. Во втором — выяснить, сколько полных метров помещается в 325 см, и найти остаток.
Проверка: 3 м 25 см — это 300 см + 25 см, то есть 325 см. При переводе метров в сантиметры число стало больше, потому что сантиметр мельче метра. Ответ: 4 м 7 см = 407 см; 325 см = 3 м 25 см.
Дорога имеет длину 2 км 350 м. Сначала найдём её длину в метрах, а затем вычислим, сколько метров останется пройти после того, как пройдены 875 м. Для вычитания обе длины должны быть выражены в одинаковых единицах.
Ответ выражаем в метрах, как требуется в задаче: длина дороги — 2350 м, пройти осталось 1475 м. Проверить вычитание можно сложением: 1475 + 875 = 2350. Все действия выполнены с величинами в одинаковых единицах.
Ошибка: считать, что длина предмета меняется при смене единицы. Обычно так кажется, потому что вместе с единицей меняется число: например, 1 м превращается в 100 см. Проверьте запись умножением или делением на 100: 100 см составляют ровно 1 м, значит, речь идёт об одной длине.
Ошибка: при переводе метров в сантиметры делить на 100. Её допускают, забывая, что сантиметр меньше метра и в той же длине таких единиц больше. Для самопроверки оцените результат: 2 м не могут равняться 0,02 см, ведь это намного меньше одного сантиметра; правильно 2 м = 200 см.
Ошибка: путать число и единицу в записи длины. Например, в записи 5 м число 5 показывает количество единиц, а м означает метры; из-за смешения этих понятий ответ иногда оставляют только числом. Проверьте, что после каждого результата указана единица и ясно, какую длину она измеряет.
Ошибка: записывать результат без единицы или складывать и вычитать разные единицы как будто они одинаковы. Например, нельзя сразу выполнять вычитание 2 км − 300 м только по числам 2 и 300. Перед действием выразите обе длины в метрах или обе в километрах, а затем проверьте, что единица указана в ответе.
Для непосредственного сравнения длин пригодятся знания об отрезках и умение пользоваться линейкой с делениями. Если отрезки нельзя расположить рядом, измерение линейкой позволяет сравнить их через числа, выраженные в общей единице. Важно правильно читать деления и не забывать обозначать результат.
Единицы длины понадобятся при вычислении периметра и площади: стороны фигуры измеряют, а затем используют их значения в формулах. В задачах на движение расстояние связывают со временем и скоростью, поэтому удобно переводить километры и метры. Масштаб помогает сопоставить длины на плане или карте с настоящими расстояниями.
Почему длина предмета записывается числом и единицей?
Число показывает, сколько выбранных единиц содержится в длине, а единица сообщает, с чем именно сравнивали предмет. Запись 5 м означает пять метров; без обозначения единицы результат был бы неполным.
Как сравнить длины, если отрезки нельзя приложить друг к другу?
Измерьте каждый отрезок одной и той же единицей, например сантиметрами. Затем сравните полученные числа: большему числу соответствует более длинный отрезок.
Почему одна и та же длина выражается разными числами?
При смене единицы меняется количество единиц, которое укладывается в длине. Например, 1 м равен 100 см, поэтому одна длина записывается как 1 м или 100 см.
Как понять, умножать или делить при переводе метров в сантиметры?
Сантиметр мельче метра, поэтому в той же длине сантиметров будет больше: метры умножают на 100. При переводе сантиметров в метры число делят на 100.
Зачем перед вычислением переводить длины в одинаковые единицы?
Складывать и вычитать нужно значения, выраженные в одной и той же единице. Иначе числа показывают разное количество разных единиц, и результат получится неверным.
3.64. Величина. Длина
