§ 33. Решение задач по теме «Плотность вещества»

Определения и обозначения

Плотность вещества — физическая величина, показывающая, какова масса вещества в единице объёма; её обозначают греческой буквой ρ (ро). Она помогает сравнить, насколько плотно «упаковано» вещество в телах одинакового объёма. Например, два кубика одинакового размера могут иметь разную массу из-за разной плотности материалов.

Масса тела — физическая величина, характеризующая количество вещества в теле; обозначается буквой m. Масса нужна, чтобы описывать, сколько вещества содержит тело, и участвует в расчёте плотности. В Международной системе единиц её измеряют в килограммах, но в задачах также встречаются граммы.

Объём тела — пространство, занимаемое телом; обозначается буквой V. Он показывает, сколько места тело занимает, и нужен для вычисления плотности вместе с массой. Объём измеряют, например, в кубических метрах или кубических сантиметрах, причём единицы должны подходить к остальным данным задачи.

Единица плотности — единица, в которой измеряют плотность; в СИ это килограмм на кубический метр, кг/м³. Также используют грамм на кубический сантиметр, г/см³, и другие единицы. Единица в ответе показывает, к какому объёму относится указанная масса, поэтому её нельзя опускать.

Как это устроено

Плотность находят отношением массы тела к его объёму: ρ = m/V. Такое деление отвечает на вопрос, какая масса приходится не на всё тело целиком, а на одну единицу его объёма. Поэтому плотность позволяет сравнивать материалы, даже если взятые тела имеют разные размеры.

Из основной формулы можно получить формулы для массы и объёма: m = ρV и V = m/ρ. Чтобы найти массу, плотность умножают на объём: в каждом участке объёма содержится одна и та же масса вещества. Чтобы найти объём, массу делят на плотность, поскольку требуется узнать, сколько единиц объёма составляют данную массу.

Формулу выбирают по тому, какую величину требуется найти: для плотности — ρ = m/V, для массы — m = ρV, для объёма — V = m/ρ. Перед расчётом удобно записать краткое условие: известные величины, искомую величину и формулу. Так легче заметить, каких данных не хватает, и не перепутать, что нужно делить, а что умножать.

Перед вычислениями нужно привести величины к согласованным единицам, иначе числа в формуле будут относиться к разным масштабам. Например, для плотности в кг/м³ массу берут в килограммах, а объём — в кубических метрах. Если даны граммы и кубические сантиметры, можно вычислять в этих единицах и получить г/см³ либо сначала перевести данные в СИ.

Объём тела правильной формы находят по его размерам и геометрической формуле: например, объём прямоугольного бруска равен произведению длины, ширины и высоты. Для тела неправильной формы размеры неудобно измерять, поэтому используют вытеснение жидкости. Погружают тело в мензурку и вычитают начальный объём жидкости из конечного: разность показывает объём тела, если оно полностью погружено.

Величины, связанные с плотностью вещества

Сначала найди в таблице искомую величину и выбери соответствующую формулу. Затем проверь, что известные данные подставляются в неё в согласованных единицах. Единица СИ в последнем столбце помогает проверить, в какой единице записать ответ.

Разбор задач

Плотность металлического бруска

Дано: масса бруска 540 г, объём 200 см³. Требуется определить плотность металла. Масса и объём уже выражены в подходящих друг к другу единицах, поэтому можно найти ответ в г/см³ без предварительного перевода в СИ.

1. Запишем искомую величину: ρ.
2. Выберем формулу: ρ = m/V, так как известны масса и объём.
3. Подставим числа: ρ = 540 г / 200 см³ = 2,7 г/см³.
4. Проверим единицу: граммы разделили на кубические сантиметры, значит, получаем г/см³.

Ответ: плотность металла равна 2,7 г/см³. Такой порядок действий помогает не спутать плотность с массой или объёмом. Если бы требовался ответ в кг/м³, результат следовало бы перевести: 2,7 г/см³ = 2700 кг/м³.

Объём детали из меди

Дано: плотность меди 8900 кг/м³, масса детали 1,78 кг. Нужно найти её объём. Единицы уже согласованы для вычисления в СИ: килограммы делятся на кг/м³, поэтому результат получится в м³.

1. Обозначим искомый объём буквой V.
2. Выразим его из формулы плотности: V = m/ρ.
3. Подставим значения: V = 1,78 кг / 8900 кг/м³ = 0,0002 м³.
4. Проверим единицу: кг делится на кг/м³, остаётся м³.

Ответ: объём детали равен 0,0002 м³. Для наглядности можно перевести результат в кубические сантиметры: 0,0002 м³ = 200 см³. Перевод не меняет объём, а только записывает его в другой единице.

Плотность камня по показаниям мензурки

Дано: масса камня 390 г, уровень воды изменился с 250 до 400 см³. Требуется определить плотность и предположить материал. Показание 400 см³ — это общий объём воды и погружённого камня, а не объём одного камня, поэтому сначала находим разность.

1. Найдём объём камня: V = 400 см³ − 250 см³ = 150 см³.
2. Выберем формулу плотности: ρ = m/V.
3. Подставим данные: ρ = 390 г / 150 см³ = 2,6 г/см³.
4. Сравним результат с табличными плотностями веществ; близкое значение может подсказать возможный материал.

Ответ: плотность камня равна 2,6 г/см³, или 2600 кг/м³. Это значение близко к плотности некоторых горных пород, например гранита, но по одной плотности нельзя точно определить состав любого камня. Для точного вывода нужны дополнительные сведения или измерения.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять массу в граммах, а объём в кубических метрах, не проверив единицы. Так получают результат, который нельзя правильно истолковать, потому что исходные величины записаны в разных масштабах. Перед вычислением приведи данные к согласованным единицам или явно оставь г и см³, чтобы получить г/см³.

Вторая ошибка — путать формулы ρ = m/V, m = ρV и V = m/ρ. Обычно так происходит, если формулу выбирают наугад, не глядя на то, что требуется найти. Проверь себя: искомая величина должна стоять отдельно слева, а подстановка должна содержать только известные значения.

Третья ошибка — считать объём неправильного тела равным конечному показанию мензурки. В это показание входят и жидкость, и погружённое тело, поэтому нужно вычесть начальный уровень жидкости. Проверка проста: объём тела — это именно прибавка показаний, а не весь объём в мензурке.

Четвёртая ошибка — записывать только число или ставить неверную единицу плотности. Без единицы нельзя понять, означает ли результат килограммы на кубический метр или граммы на кубический сантиметр. После вычисления сверь единицу с единицами подставленных массы и объёма и обязательно запиши её в ответе.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны знания единиц массы, длины и объёма, умение переводить их и работать с формулами. Плотность понадобится при изучении плавания тел и архимедовой силы: она помогает сравнивать тело с жидкостью. Её также используют, чтобы предполагать состав вещества по измеренным массе и объёму.

Навык расчёта плотности, массы и объёма пригодится не только в задачах по физике. С его помощью обрабатывают результаты лабораторных работ и рассчитывают характеристики тел в механике. Умение проверять единицы помогает избежать ошибок в любых расчётах.

Что запомнить

• Плотность показывает массу вещества в единице объёма.
• Основная формула плотности: ρ = m/V.
• Масса определяется по формуле m = ρV.
• Объём определяется по формуле V = m/ρ.
• Перед вычислениями нужно привести величины к согласованным единицам.
• Объём неправильного тела можно найти по вытесненному им объёму жидкости.