§ 63. Потенциал. Разность потенциалов

Определения и обозначения

Электрический потенциал точки — потенциальная энергия пробного положительного заряда в этой точке, отнесённая к величине заряда; обозначается φ. Иначе говоря, потенциал показывает, какая энергия приходится на единицу заряда. Благодаря этому можно описать энергетические свойства поля в точке, не выбирая заранее конкретный пробный заряд.

Разность потенциалов между точками 1 и 2 — работа электрического поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2; обозначается U₁₂ = φ₁ − φ₂. Она показывает, сколько работы поле совершает на каждый кулон перемещаемого заряда. По разности потенциалов можно сравнивать две точки и определять работу для заряда любой величины.

Потенциал точечного заряда — потенциал его поля на расстоянии r от заряда: φ = kQ/r, если на бесконечности потенциал принят равным нулю. Здесь Q — заряд, а k — коэффициент в законе Кулона. Формула нужна, чтобы находить потенциал поля точечного заряда по его величине, знаку и расстоянию до точки.

Вольт — единица потенциала и разности потенциалов: 1 В = 1 Дж/Кл. Один вольт соответствует разности потенциалов, при которой поле совершает работу один джоуль над зарядом в один кулон. Эта единица связывает энергетическую характеристику поля с работой и зарядом.

Как это устроено

Поле может совершать работу над зарядом, поэтому состояние заряда в поле удобно описывать потенциальной энергией. Но эта энергия зависит не только от поля, но и от величины заряда, который в него поместили. Чтобы получить характеристику именно поля, энергию делят на заряд: φ = Wп/q, откуда Wп = qφ. Так потенциал показывает потенциальную энергию, приходящуюся на единицу заряда.

Потенциальная энергия и потенциал определяются относительно выбранного нуля: можно условиться, в какой точке энергия считается нулевой. При изменении этого выбора значения потенциала в точках сдвигаются на одинаковую величину, но физический результат не должен зависеть от условности. Для точечного заряда удобно принять нулевой потенциал на бесконечности, где влияние заряда становится сколь угодно малым. Такой выбор приводит к формуле φ = kQ/r.

Работа поля при перемещении заряда связана с изменением его потенциальной энергии: поле совершает положительную работу, когда потенциальная энергия уменьшается. Для заряда q в точке с потенциалом φ его энергия равна qφ, поэтому при переносе из точки 1 в точку 2 работа поля равна A₁₂ = qφ₁ − qφ₂ = q(φ₁ − φ₂). Отсюда следует формула U₁₂ = φ₁ − φ₂ и видно, почему порядок точек важен для знака.

В формуле φ = kQ/r расстояние r стоит в знаменателе, поэтому при удалении от заряда потенциал по модулю уменьшается обратно пропорционально расстоянию. Знак Q определяет знак потенциала: у положительного заряда потенциал положителен, у отрицательного — отрицателен при выбранном нуле на бесконечности. Если поле создают несколько зарядов, потенциал от каждого можно найти отдельно. Затем эти значения складывают со знаками, потому что потенциал подчиняется принципу суперпозиции.

Работа поля определяется только начальным и конечным положениями заряда, а не тем, где условно установлен ноль потенциала. Если ко всем потенциалам прибавить одну и ту же величину, φ₁ и φ₂ изменятся одинаково, а их разность останется прежней. Именно поэтому разность потенциалов имеет прямой физический смысл независимо от выбора нулевого уровня. Она показывает работу поля на единицу заряда при переносе между двумя точками.

Потенциал и разность потенциалов

Сначала определите, требуется ли характеристика одной точки или сравнение двух точек: в первом случае ищут потенциал, во втором — разность потенциалов. Для расчёта работы используйте разность потенциалов и заряд, не забывая о знаках величин. В таблице также видно, почему потенциал зависит от выбора нуля, а разность потенциалов — нет.

Разбор задач

Потенциал точечного заряда

Найти потенциал поля точечного заряда 2 нКл на расстоянии 0,30 м от него, считая потенциал на бесконечности равным нулю. Заряд положительный, поэтому ожидаем положительное значение потенциала. Переведём заряд в кулоны и применим формулу для точечного заряда.

1. Записываем данные: Q = 2 нКл = 2 · 10⁻⁹ Кл, r = 0,30 м, k = 9 · 10⁹ Н·м²/Кл².
2. Подставляем в формулу: φ = kQ/r = (9 · 10⁹ · 2 · 10⁻⁹)/0,30.
3. Вычисляем: φ = 18/0,30 = 60 В. Знак положительный, поскольку Q > 0.

Ответ: φ = 60 В. Проверка единиц даёт Дж/Кл, то есть вольты, а знак совпадает со знаком заряда.

Работа и разность потенциалов

При перемещении заряда 4 мкКл из точки 1 в точку 2 поле совершило работу 0,012 Дж. Требуется найти φ₁ − φ₂. Здесь известны работа и заряд, а искомая разность потенциалов показывает работу поля в расчёте на один кулон. Поскольку работа положительна, разность потенциалов для положительного заряда тоже должна быть положительной.

1. Переводим заряд: q = 4 мкКл = 4 · 10⁻⁶ Кл.
2. Используем A₁₂ = qU₁₂, откуда U₁₂ = A₁₂/q.
3. Подставляем: U₁₂ = 0,012/(4 · 10⁻⁶) = 3000 В.

Ответ: φ₁ − φ₂ = U₁₂ = 3000 В. Значит, потенциал начальной точки выше потенциала конечной на 3000 В.

Потенциал нескольких зарядов

Найти потенциал точки, находящейся на расстояниях 0,20 м от заряда +3 нКл и 0,30 м от заряда −2 нКл. Нельзя складывать только модули: отрицательный заряд создаёт отрицательный потенциал. Сначала найдём вклад каждого заряда отдельно, затем сложим результаты со знаками.

1. Для первого заряда: φ₁ = kQ₁/r₁ = (9 · 10⁹ · 3 · 10⁻⁹)/0,20 = 135 В.
2. Для второго заряда: φ₂ = kQ₂/r₂ = (9 · 10⁹ · (−2 · 10⁻⁹))/0,30 = −60 В.
3. Складываем алгебраически: φ = φ₁ + φ₂ = 135 В − 60 В = 75 В.

Ответ: потенциал точки равен 75 В. Он положителен, потому что положительный вклад первого заряда по модулю больше отрицательного вклада второго.

Типичные ошибки

Путают потенциал с потенциальной энергией и считают, что это одно и то же. Так происходит потому, что обе величины описывают энергетические свойства поля; однако энергия зависит от заряда, а потенциал относится к единице заряда. Проверка проста: используйте Wп = qφ и проверьте, что для энергии нужен конкретный заряд.

Меняют местами начальную и конечную точки в формуле U₁₂ = φ₁ − φ₂. При перестановке меняется знак разности, а вместе с ним и знак работы поля; ошибка часто возникает из-за невнимательности к индексам. Перед вычислением подпишите, откуда и куда движется заряд, а затем проверьте, что A₁₂ = q(φ₁ − φ₂).

При нескольких зарядах складывают модули потенциалов, не учитывая знаки зарядов. Это происходит, когда формулу φ = kQ/r применяют только к абсолютным значениям Q. Проверяйте знак каждого вклада до сложения: потенциалы положительных и отрицательных зарядов складываются алгебраически.

Считают потенциал абсолютной величиной, не зависящей от выбора нуля. Путаница возникает из-за того, что физические результаты не должны зависеть от условного выбора нулевого уровня. Помните: сами значения потенциалов могут сдвинуться, а разность потенциалов останется прежней; это можно проверить, прибавив к φ₁ и φ₂ одно и то же число.

Связь с другими темами

Для работы с потенциалом понадобятся понятия потенциальной энергии и работы силы: именно через них устанавливают связь Wп = qφ и A₁₂ = q(φ₁ − φ₂). Принцип суперпозиции электрических полей помогает понять, почему потенциалы нескольких зарядов можно находить отдельно и складывать. Позже разность потенциалов появится при изучении напряжения, движения зарядов в электрическом поле и электрических цепей. Эти понятия связывают свойства поля с изменением энергии зарядов и работой электрического тока.

Что запомнить

• Потенциал φ — потенциальная энергия, приходящаяся на единицу заряда.
• Потенциальную энергию заряда можно найти по формуле Wп = qφ.
• Работа поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 равна A₁₂ = q(φ₁ − φ₂).
• Единица потенциала и разности потенциалов — вольт: 1 В = 1 Дж/Кл.
• Потенциал точечного заряда равен kQ/r, если на бесконечности потенциал принят равным нулю.
• При наложении полей нескольких зарядов их потенциалы складываются алгебраически.