"Физика (Базовый и углубленный уровни)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Принцип относительности Галилея описывает, как механические явления выглядят для наблюдателей, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Он нужен, чтобы переводить координаты и скорости из одной инерциальной системы отсчёта в другую. Главное: механические законы имеют одинаковый вид в таких системах, а равномерное движение системы нельзя обнаружить только опытами внутри неё. Для перехода используют преобразования Галилея.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Она позволяет указывать, где находится тело и когда это происходит. Описание движения зависит от выбора системы: один и тот же предмет может покоиться относительно вагона и перемещаться относительно платформы.
Инерциальная система отсчёта — система, в которой тело при нулевой равнодействующей сил движется равномерно и прямолинейно. Это определение помогает отделить системы, где законы Ньютона применяются без поправок из-за ускорения самой системы. Системы, движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, также инерциальны.
Принцип относительности Галилея утверждает, что механические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому механический опыт внутри равномерно движущегося вагона не позволяет обнаружить само его движение. Принцип нужен, чтобы понять, какие наблюдения зависят от выбора системы, а какие закономерности остаются общими.
Преобразования Галилея — правила перехода между координатами и временем в системах, одна из которых равномерно и прямолинейно движется относительно другой. Они позволяют переводить описание события из одной системы в другую. В классической механике время считается общим: t′ = t.
Представьте, что вагон или корабль движется плавно, без разгона и поворотов. Если пассажир подбросит мяч, нальёт воду в стакан или отпустит предмет, механический опыт пройдёт так же, как в неподвижной системе. Причина в том, что все предметы внутри уже имеют общую скорость движения системы, а относительно неё сохраняются те же механические взаимодействия. Без взгляда на берег или другие внешние объекты равномерную скорость обнаружить нельзя.
Рассмотрим две системы с параллельными осями: S′ движется вдоль оси x со скоростью u относительно S. Пусть в момент t = 0 начала координат совпадают, а направления осей x и x′ одинаковы. За время t начало S′ сместится относительно S на расстояние ut, поэтому координата тела в S′ меньше координаты в S на эту величину: x′ = x − ut. В классической механике часы считают общими для обеих систем, поэтому t′ = t.
Связь координат показывает, как меняются и скорости. Если продифференцировать x′ = x − ut по времени, получится v′ₓ = vₓ − u, а значит, vₓ = v′ₓ + u. Так формулируется правило сложения скоростей: скорость тела относительно одной системы равна скорости относительно другой плюс скорость движения систем, если направления учитываются знаками. Когда скорости направлены противоположно, одна из них отрицательна и фактически происходит вычитание модулей.
Ускорение — это изменение скорости за единицу времени. При переходе к S′ скорость меняется на постоянную величину u, поскольку сами системы движутся друг относительно друга равномерно. Постоянная добавка не влияет на изменение скорости, поэтому a′ₓ = aₓ. Следовательно, если в S выполняется второй закон Ньютона F = ma, то он сохраняет тот же вид в S′ при тех же силах и массе.
Преобразования Галилея опираются на предположение об общем времени и применимы в классической механике. Оно хорошо описывает обычные скорости, которые намного меньше скорости света. Когда скорость тела становится сравнимой со скоростью света, измерения времени и пространства нельзя связывать такими простыми формулами. В этой области используют преобразования Лоренца и специальную теорию относительности.
| Величина | Связь между S и S′ | Что это означает |
|---|---|---|
| Координата вдоль направления движения | x′ = x − ut | Координата зависит от положения начала системы и его движения. |
| Время | t′ = t | В классической механике время считается одинаковым в обеих системах. |
| Скорость | v′ₓ = vₓ − u | Скорость меняется на скорость движения системы; направление задают знаками. |
| Ускорение | a′ₓ = aₓ | Ускорение при переходе между системами Галилея не меняется. |
| Законы механики | Имеют одинаковый вид | Механические закономерности одинаковы во всех инерциальных системах. |
Сначала определите, в какой системе заданы исходные величины и в какую систему нужно перейти. Затем выберите направление оси, подставьте скорость u с правильным знаком и примените соответствующую строку. Для обратного перехода удобно переписать формулу так, чтобы искомая величина стояла слева.
Поезд движется равномерно и прямолинейно, пассажир роняет мяч. Нужно объяснить, почему наблюдатели в вагоне и на платформе видят разные траектории, но получают согласующиеся результаты механического опыта. Сначала различим само движение мяча и его описание в выбранных системах. Затем применим преобразование Галилея.
Ответ: в вагоне мяч падает по вертикали, а относительно платформы движется вперёд и вниз. Наблюдатели описывают его движение по-разному, но это не меняет результатов механических опытов в инерциальных системах.
Катер движется относительно берега со скоростью 8 м/с. Человек идёт вперёд по палубе со скоростью 1,5 м/с относительно катера. Найдём скорость человека относительно берега, а затем рассмотрим движение назад. Здесь важно не просто складывать модули, а сначала выбрать направление отсчёта.
Ответ: при ходьбе вперёд скорость человека относительно берега равна 9,5 м/с, при ходьбе назад — 6,5 м/с. В обоих случаях катер продолжает двигаться вперёд относительно берега.
Система S′ движется вдоль оси x со скоростью u = 4 м/с относительно S, а начала координат совпали при t = 0. В момент t = 3 с тело имеет в S′ координату x′ = 10 м и скорость v′ₓ = 2 м/с. Требуется найти координату и скорость тела в S, используя обратные формулы преобразований.
Ответ: координата тела в S равна 22 м, скорость — 6 м/с.
Считать, что координаты одинаковы во всех системах. Координата зависит от начала отсчёта, а движущееся начало за время t смещается на ut. Ошибка возникает, если воспринимать координату как неизменное свойство тела. Проверьте себя: выясните, где находится начало каждой системы и как оно движется.
Складывать скорости без учёта направления. Одни скорости направлены одинаково, другие — навстречу друг другу. Если не выбрать ось и знаки, можно получить неверный результат. Для проверки запишите направление каждой скорости словами и только затем поставьте плюс или минус в формуле.
Путать скорость тела со скоростью системы. В формуле перехода участвуют скорость тела относительно одной системы и скорость движения самих систем друг относительно друга. Путаница возникает, когда всем величинам приписывают один и тот же смысл. Перед вычислением подпишите, относительно чего измерена каждая скорость.
Считать преобразования Галилея точными при любых скоростях. Они предполагают общее время и относятся к классической механике. Их нередко переносят на скорости, близкие к скорости света, потому что формулы выглядят привычно. Проверьте условие применимости: если скорость сравнима со скоростью света, нужны преобразования Лоренца.
Для понимания темы нужны понятия системы отсчёта, траектории, скорости и ускорения, а также признаки инерциальной системы. Без них нельзя установить, относительно чего измерена величина и почему одни наблюдатели получают разные координаты. Принцип относительности Галилея помогает применять законы Ньютона и разбирать сложение движений. Позже сравнение преобразований Галилея с преобразованиями Лоренца показывает, где заканчиваются возможности классической механики.
Можно ли определить равномерное движение вагона по опыту, проведённому только внутри него?
Нет, если вагон движется равномерно и прямолинейно, а опыт механический. Например, падение мяча или движение предмета на столе протекают так же, как в неподвижном вагоне. Чтобы узнать скорость вагона относительно Земли, нужно сравнить его движение с внешними объектами.
Почему время в преобразованиях Галилея считается одинаковым в обеих системах?
В классической механике предполагают, что время течёт одинаково для всех наблюдателей, независимо от их движения. Поэтому события, происходящие одновременно в одной системе, считаются одновременными и в другой. Это приближение хорошо работает при скоростях, намного меньших скорости света.
Как понять, складывать скорости или вычитать?
Сначала выберите направление оси и задайте знаки скоростей. Затем используйте алгебраическое сложение: движение в сторону оси имеет знак плюс, в противоположную — минус. Например, скорость человека относительно берега равна скорости катера плюс скорость человека относительно катера.
Почему ускорение не меняется при переходе между инерциальными системами?
При переходе между такими системами координата меняется на величину, пропорциональную времени: x′ = x − ut. При вычислении ускорения постоянная добавка к скорости, равная скорости движения системы, исчезает. Поэтому ускорение тела в обеих системах одинаково.
При каких условиях преобразования Галилея перестают быть применимы?
Они применимы в классической механике, когда скорости тел и систем существенно меньше скорости света. При скоростях, близких к скорости света, уже нельзя считать время одинаковым для всех наблюдателей. Тогда используют преобразования Лоренца.
1. Принцип относительности Галилея
