"Физика (Базовый и углубленный уровни)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Сила Лоренца действует на заряженную частицу, движущуюся в электрическом и магнитном полях. Её магнитная составляющая меняет направление скорости, но не её величину: она всегда перпендикулярна движению и потому не совершает работу. Электрическая составляющая направлена вдоль поля и может изменять кинетическую энергию частицы. Чтобы ответить на вопрос о работе, нужно различать эти составляющие и учитывать направление силы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила Лоренца — сила, действующая на заряд q, движущийся со скоростью v в электрическом поле с напряжённостью E и магнитном поле с индукцией B: F = q(E + v × B). Векторное произведение v × B задаёт направление магнитного воздействия. Эта запись нужна, чтобы учитывать оба поля одновременно, а не смешивать их эффекты.
Магнитная составляющая силы Лоренца равна Fм = q(v × B), а её модуль — |Fм| = |q|vB sin α, где α — угол между скоростью и магнитной индукцией. Она перпендикулярна скорости частицы. Это обозначение помогает отдельно выяснить, как магнитное поле влияет на движение и может ли оно менять энергию заряда.
Работа силы — физическая величина, показывающая, сколько энергии сила передаёт телу или отнимает у него при перемещении: для постоянной силы A = Fs cos β, где β — угол между силой и перемещением. Кинетическая энергия частицы равна Eₖ = mv²/2. Сопоставление работы и изменения Eₖ позволяет проверить, изменилась ли скорость по модулю.
Магнитная сила направлена поперёк скорости, потому что направление векторного произведения v × B перпендикулярно обоим его множителям. За малое время частица перемещается почти по направлению своей скорости, а сила направлена вбок относительно этого перемещения. Поэтому угол между силой и перемещением равен 90°, а cos 90° = 0: магнитная сила не совершает работу.
Тот же вывод можно получить через мощность — работу за единицу времени. Мгновенная мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость: Pм = Fм · v. Поскольку Fм перпендикулярна v, это произведение равно нулю в каждый момент, а не только в среднем за полный оборот. Значит, магнитное поле не меняет кинетическую энергию частицы.
Нулевая работа не означает, что магнитное поле никак не влияет на движение. Сила, направленная поперёк скорости, поворачивает вектор скорости, подобно центростремительной силе при движении по окружности. Если скорость перпендикулярна B, траектория в однородном поле круговая; если у скорости есть составляющая вдоль поля, частица одновременно движется вдоль линий поля, и траектория становится винтовой.
Полная сила Лоренца включает также электрическую составляющую Fэ = qE. Она не обязана быть перпендикулярной скорости: если у неё есть составляющая вдоль перемещения, она совершает работу. Для однородного поля при перемещении на расстояние s работа равна Aэ = qEs cos α, где α — угол между E и перемещением. Знак работы зависит от знака заряда и направления движения.
Изменение кинетической энергии определяется работой всех действующих сил: A = ΔEₖ. Если на заряд действует только магнитная составляющая силы Лоренца, ΔEₖ = 0 и модуль скорости остаётся постоянным. Если электрическое поле совершает работу, кинетическая энергия может измениться. Поэтому ответ на вопрос о работе зависит от того, какую составляющую силы Лоренца рассматривают.
| Составляющая | Формула | Направление относительно движения | Совершает работу? |
|---|---|---|---|
| Магнитная | Fм = q(v × B) | Перпендикулярна скорости | Нет, работа равна нулю |
| Электрическая | Fэ = qE | Может иметь составляющую вдоль движения | Да, если есть перемещение вдоль силы |
| Полная сила Лоренца | F = q(E + v × B) | Зависит от E и направления движения | Может совершать работу за счёт электрической составляющей |
Сначала определите, какая составляющая действует в условии: только магнитная или также электрическая. Затем сравните направление силы с перемещением: перпендикулярная составляющая работы не даёт, а направленная вдоль перемещения может её совершать. Для полной силы учитывайте работу каждой составляющей.
Заряженная частица движется в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На участке траектории частица переместилась на 0,20 м, модуль магнитной силы равен 3,0 · 10⁻¹⁵ Н. Найдите работу магнитной силы на этом участке и объясните, изменится ли кинетическая энергия частицы. Численный заряд и масса для ответа не нужны: решающим является направление силы относительно движения.
Запишем, какая сила рассматривается. Электрическое поле в условии не указано, поэтому анализируем только магнитную составляющую Fм = q(v × B). По свойству векторного произведения она перпендикулярна скорости частицы.
Свяжем скорость с перемещением. На каждом достаточно малом участке траектории перемещение направлено почти так же, как скорость в начале этого участка. Значит, угол между магнитной силой и малым перемещением равен 90°.
Используем формулу элементарной работы dA = Fм ds cos 90°. Так как cos 90° = 0, работа равна нулю на каждом малом участке пути. Следовательно, равна нулю и работа на всём участке длиной 0,20 м.
По теореме о кинетической энергии изменение кинетической энергии равно суммарной работе сил. Если других сил, совершающих работу, нет, то ΔEₖ = 0; модуль скорости не изменится, хотя её направление будет непрерывно меняться.
Ответ: Aм = 0 Дж; кинетическая энергия и модуль скорости не изменятся. Значения силы и пути здесь не влияют на результат, поскольку работа определяется ещё и углом между силой и перемещением. Магнитная сила искривляет траекторию, но не разгоняет частицу.
Для сравнения рассмотрим заряд q, перемещающийся на расстояние s в однородном электрическом поле E вдоль его направления. Электрическая сила равна Fэ = qE и параллельна перемещению для положительного заряда, поэтому Aэ = qEs. Для отрицательного заряда сила направлена против E: если перемещение остаётся направленным вдоль E, работа будет отрицательной. Этот вывод показывает, почему нельзя автоматически переносить результат для магнитной силы на полную силу Лоренца.
Ошибка: утверждать, что полная сила Лоренца никогда не совершает работу. Так говорят, вспоминая только магнитную составляющую и не учитывая электрическое поле. Проверьте формулу: если в ней есть qE, выясните, есть ли у электрической силы составляющая вдоль перемещения.
Ошибка: считать, что нулевая работа означает отсутствие влияния на движение. Это заключение возникает из смешения изменения скорости по направлению и по модулю. Проверьте вектор скорости: магнитная сила меняет его направление, хотя кинетическая энергия и модуль скорости остаются постоянными.
Ошибка: применять формулу A = Fs, не учитывая угол. При таком расчёте забывают, что работа зависит от проекции силы на направление перемещения. Запишите A = Fs cos β: если β = 90°, работа равна нулю.
Ошибка: считать магнитную силу параллельной перемещению по всей кривой траектории. Так может показаться, если не рассматривать движение по малым участкам. Проверяйте направление силы относительно мгновенной скорости: именно она задаёт направление малого перемещения.
Разбор работы силы Лоренца опирается на понятие работы и теорему о кинетической энергии: по суммарной работе можно судить об изменении скорости по модулю. Направление магнитной силы определяется векторным произведением и правилами нахождения направления силы, изучаемыми при рассмотрении магнитного поля и движения зарядов. Криволинейное движение показывает, как сила может изменять направление скорости, не меняя кинетическую энергию. Электрическая составляющая связывает тему с работой электрического поля и изменением энергии заряда.
Магнитная составляющая силы Лоренца Fм = q(v × B) перпендикулярна скорости.
Магнитная сила не совершает работу: она меняет направление скорости, но не её модуль и не кинетическую энергию.
Электрическая составляющая Fэ = qE может совершать работу и изменять кинетическую энергию заряда.
Утверждение «сила Лоренца не совершает работу» верно для магнитной составляющей; для полной силы нужно учитывать электрическое поле.
2. Совершает ли работу сила Лоренца?
