"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч.1); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 2)
Сила Лоренца действует на заряженную частицу в электрическом и магнитном полях. Её магнитная составляющая искривляет траекторию, но не меняет модуль скорости: она перпендикулярна движению и работы не совершает. Электрическая составляющая направлена вдоль или против поля и способна изменять кинетическую энергию частицы. Различать эти вклады нужно, чтобы верно находить работу силы и объяснять движение частиц в приборах и полях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила Лоренца — сила, действующая на заряд q, движущийся со скоростью v в электрическом поле E и магнитном поле B: F = qE + q(v × B). Здесь × обозначает векторное произведение, а направление магнитной части находят по правилу левой руки с учётом знака заряда. Эта формула показывает, что на частицу одновременно могут действовать два разных по свойствам воздействия.
Магнитная составляющая силы Лоренца задаётся выражением Fₘ = q(v × B). Она перпендикулярна скорости частицы и магнитной индукции; для отрицательного заряда направление противоположно направлению, полученному для положительного. Это позволяет сразу проверить, может ли магнитная сила изменить энергию частицы.
Электрическая составляющая силы Лоренца равна Fₑ = qE. Положительный заряд она толкает вдоль электрического поля, отрицательный — противоположно ему. Знак заряда важен не только для направления силы, но и для знака совершаемой ею работы.
Работа силы Лоренца — работа результирующей электрической и магнитной составляющих при перемещении частицы. Она равна сумме работ этих составляющих, а по теореме о кинетической энергии — изменению кинетической энергии частицы: A = ΔK. Поэтому для нахождения результата полезно отдельно рассмотреть каждый вклад.
Магнитная сила выражается векторным произведением скорости и магнитной индукции. По свойству такого произведения его результат перпендикулярен каждому из двух векторов, значит, Fₘ ⟂ v. Если скорость направлена вдоль магнитного поля, магнитная составляющая вообще равна нулю; если между v и B есть угол, она всё равно остаётся поперечной скорости.
Работа за малое перемещение Δr равна скалярному произведению силы на перемещение: ΔA = F · Δr. За очень короткое время Δt перемещение направлено практически вдоль мгновенной скорости, то есть Δr ≈ vΔt. Поскольку магнитная сила перпендикулярна v, скалярное произведение равно нулю, и магнитная составляющая не передаёт частице энергию ни на малом участке, ни на всей траектории.
Для электрической составляющей угол между силой и перемещением не обязательно равен 90°. Её работа положительна, если сила имеет составляющую вдоль перемещения, отрицательна, если направлена против него, и нулевая, если сила перпендикулярна перемещению. Например, при перемещении вдоль поля положительный заряд ускоряется, а отрицательный — тормозится; при движении поперёк поля электрическая работа в данный момент равна нулю.
Теорема о кинетической энергии связывает работу результирующей силы с изменением кинетической энергии: A = ΔK = K₂ − K₁. Поскольку магнитная составляющая работы не совершает, изменение K определяется работой электрической составляющей. Положительная работа увеличивает кинетическую энергию, отрицательная уменьшает, а нулевая оставляет её неизменной.
В однородном магнитном поле при скорости, перпендикулярной B, магнитная сила играет роль центростремительной: она всё время поворачивает скорость, поэтому частица движется по окружности. Если у скорости есть составляющая вдоль поля, она сохраняется, а поперечная составляющая создаёт вращение — получается спираль. В обоих случаях модуль скорости остаётся прежним; электрическое поле, напротив, способно передавать частице энергию и менять этот модуль.
| Составляющая или случай | Формула силы | Направление силы | Работа | Изменение кинетической энергии |
|---|---|---|---|---|
| Магнитная составляющая | Fₘ = q(v × B) | Перпендикулярна v и B | Нулевая | ΔK = 0 |
| Электрическая составляющая | Fₑ = qE | Вдоль E при q > 0, против E при q < 0 | Может быть положительной, отрицательной или нулевой | ΔK = Aₑ |
| Однородное магнитное поле при любой скорости частицы | F = q(v × B) | Перпендикулярна v; при v ∥ B равна нулю | Нулевая | Модуль скорости и K постоянны |
| Однородное электрическое поле при движении вдоль поля | Fₑ = qE | Вдоль или против перемещения — зависит от знака q | A = qE·s при перемещении вдоль E | ΔK = A |
| Скрещённые электрическое и магнитное поля | F = qE + q(v × B) | Результирующая двух составляющих | Работу совершает электрическая составляющая | ΔK = Aₑ |
Сначала определите, какие поля действуют на частицу и как направлены сила и перемещение. Затем установите, какая составляющая может совершать работу: магнитная всегда даёт нулевой вклад. Последний столбец связывает найденную работу с изменением кинетической энергии.
Заряженная частица движется в однородном магнитном поле по окружности. Требуется найти работу магнитной составляющей силы за один оборот и изменение кинетической энергии. Численные данные не нужны: достаточно установить взаимное направление силы и скорости.
Ответ: работа магнитной составляющей за оборот равна нулю; кинетическая энергия не меняется. Сила всё же действует: она непрерывно поворачивает скорость, создавая движение по окружности.
Электрон перемещается между точками 1 и 2 в однородном электрическом поле с разностью потенциалов U₁₂ = φ₁ − φ₂. Нужно найти работу силы Лоренца и изменение кинетической энергии; магнитную составляющую, если поле присутствует, также следует учесть. Числовое значение можно получить подстановкой заданного U₁₂.
Ответ: A = ΔK = −eU₁₂ при определении U₁₂ как φ₁ − φ₂. Если в условии задана разность потенциалов в обратном порядке, изменится знак формулы; единицы работы — джоули.
Частица с зарядом q движется со скоростью v в электрическом поле напряжённости E; угол между E и v равен α. Одновременно действует магнитное поле, поэтому требуется выяснить, меняется ли энергия. Величину магнитной индукции знать для расчёта мгновенной мощности не требуется.
Ответ: P = qEv cos α. При P > 0 энергия увеличивается, при P < 0 уменьшается, а при P = 0 мгновенно не меняется; магнитное поле на эту мощность не влияет.
Считать, что любая сила Лоренца не совершает работы. Так обобщают свойство магнитной части на всю результирующую силу, хотя электрическая часть может иметь проекцию на перемещение. Проверка: разложите силу на qE и q(v × B) и отдельно оцените их работы.
Вычислять работу как произведение F·s, не учитывая угол между силой и перемещением. Это допустимо только при параллельных силе и перемещении; в общем случае нужна формула A = Fs cos α или скалярное произведение. Проверяйте, есть ли у силы составляющая вдоль перемещения.
Утверждать, что магнитное поле всегда изменяет скорость частицы. Путают скорость как вектор и её модуль: поле может повернуть вектор, не меняя его длины. Проверьте это по условию Fₘ ⟂ v и по равенству Aₘ = ΔK = 0.
Не учитывать знак заряда при направлении электрической силы или вычислении её работы. Направление qE меняется для отрицательного заряда, а в выражении A = q(φ₁ − φ₂) знак q определяет знак результата. Перед расчётом укажите, положителен заряд или отрицателен, и проверьте знак работы по направлению силы.
Для этой темы нужны понятия механической работы, теорема о кинетической энергии и скалярное произведение векторов: они объясняют, почему перпендикулярная сила не передаёт энергию. Также важно уметь применять формулу силы Лоренца и находить направление векторного произведения по правилу левой руки. Эти знания используют при изучении движения заряженных частиц и устройств, в которых их траектории управляются полями: масс-спектрометра и циклотрона. Работа электрического поля связывает тему с разностью потенциалов.
Почему магнитное поле может искривлять траекторию, хотя не совершает работы?
Магнитная составляющая силы направлена поперёк мгновенной скорости. Она меняет направление скорости, а не её модуль, поэтому траектория искривляется без изменения кинетической энергии.
Совершает ли сила Лоренца работу, если частица движется по окружности?
Если движение по окружности вызвано только магнитной составляющей, её работа равна нулю: сила всё время перпендикулярна скорости. Если одновременно есть электрическое поле, электрическая составляющая может совершать работу, даже если траектория в данный момент имеет форму окружности.
Может ли работа силы Лоренца быть отрицательной?
Да, если электрическая составляющая направлена против перемещения частицы, её работа отрицательна. Тогда кинетическая энергия частицы уменьшается.
Что изменяется у частицы в магнитном поле: скорость, направление движения или энергия?
Магнитное поле может изменить направление вектора скорости, но не его модуль. Поэтому кинетическая энергия частицы не меняется, хотя её траектория может стать окружностью или спиралью.
Как найти работу силы Лоренца, если одновременно действуют электрическое и магнитное поля?
Разделите силу Лоренца на электрическую и магнитную составляющие. Магнитная работа равна нулю, поэтому работа результирующей силы равна работе электрической: A = q(φ₁ − φ₂), если частица перемещается из точки 1 в точку 2.
2. Совершает ли работу сила Лоренца?
