"Физика (Базовый и углубленный уровни)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
При скоростях, близких к скорости света, законы движения нельзя описывать только классическими формулами. Специальная теория относительности вводит релятивистский импульс, энергию покоя и полную энергию тела. Эти понятия объясняют, почему ускорение становится всё труднее, почему покоящееся тело обладает энергией и как связаны энергия, импульс и масса частицы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Релятивистский импульс — это импульс тела при скоростях, сравнимых со скоростью света: p = γm₀v. Здесь m₀ — масса покоя, а γ = 1/√(1 − v²/c²) — релятивистский множитель. Он нужен, потому что классическая формула m₀v перестаёт правильно описывать движение быстрых тел.
Энергия покоя — энергия тела, неподвижного относительно выбранной системы отсчёта. Она определяется формулой E₀ = m₀c². Эта формула показывает, что масса сама по себе является запасом энергии.
Полная энергия движущегося тела равна E = γm₀c². Она включает энергию покоя и кинетическую энергию: E = E₀ + Eₖ, поэтому Eₖ = E − E₀. Такое разделение позволяет отличать энергию движения от энергии, связанной с массой тела.
Связь энергии и импульса выражается формулой E² = p²c² + m₀²c⁴. Она связывает полную энергию, импульс и массу покоя одной частицы. Формула удобна, когда скорость неизвестна или требуется проверить результат расчёта.
Преобразования Лоренца заменяют преобразования Галилея при больших скоростях. Поэтому величины, которые в классической механике считались неизменными при переходе между системами отсчёта, должны быть уточнены. Релятивистские формулы сохраняют согласованность законов физики для наблюдателей, движущихся друг относительно друга.
Множитель γ зависит от скорости и равен единице только в пределе малых скоростей. Когда v приближается к c, выражение 1 − v²/c² стремится к нулю, а γ растёт. Поэтому импульс p = γm₀v и энергия E = γm₀c² увеличиваются значительно быстрее, чем предсказывают классические формулы.
Полная энергия записывается как E = E₀ + Eₖ, где E₀ = m₀c². Даже при v = 0 у тела остаётся энергия покоя, потому что его масса не исчезает. Кинетическая энергия появляется только при движении и равна разности полной энергии и энергии покоя.
Если подставить релятивистские выражения для E и p в расчёты, получается E² − p²c² = m₀²c⁴. Перенос слагаемого даёт общую формулу E² = p²c² + m₀²c⁴. Для частицы с m₀ = 0 остаётся E² = p²c², а для положительной энергии — E = pc.
При малых скоростях отношение v²/c² очень мало, поэтому γ почти не отличается от единицы. Тогда p ≈ m₀v, а после вычитания энергии покоя из полной энергии получается Eₖ ≈ m₀v²/2. Так релятивистская механика постепенно переходит в классическую.
| Величина или свойство | Классическая механика | Специальная теория относительности |
|---|---|---|
| Импульс тела | p = mv | p = γm₀v |
| Полная энергия | Обычно рассматривается механическая энергия, например Eₖ = mv²/2 | E = γm₀c² |
| Кинетическая энергия | Eₖ = mv²/2 | Eₖ = γm₀c² − m₀c² |
| Энергия покоя | Отдельно не учитывается | E₀ = m₀c² |
| Поведение при v, близкой к c | Формулы дают неверные результаты | γ резко возрастает, c недостижима для тела с массой покоя |
Сначала определите, мала ли скорость по сравнению с c, и только затем выбирайте столбец. Если скорость близка к скорости света или в условии дана полная энергия, используйте релятивистские формулы. Таблица также помогает не путать полную и кинетическую энергию.
Задача 1. Найти импульс электрона, движущегося со скоростью 0,8c, если его масса покоя равна m₀. Требуется выразить ответ через m₀ и c.
Ответ: p = 4m₀c/3. Использование p = m₀v дало бы меньший результат, потому что не учитывало бы γ.
Задача 2. Полная энергия протона в 3 раза больше энергии покоя. Найти его кинетическую энергию. Обозначим энергию покоя через E₀.
Ответ: Eₖ = 2m₀c². Сначала нужно выделить энергию покоя, а не считать всю полную энергию кинетической.
Задача 3. Частица имеет массу покоя m₀ и импульс p. Найти её полную энергию и выбрать физически правильное значение.
Ответ: E = √(p²c² + m₀²c⁴). При подстановке результата в исходное соотношение квадрат корня возвращает правую часть, поэтому формула проверена.
Классический импульс при скорости около c. Ошибка возникает, когда массу покоя подставляют в p = m₀v и забывают γ. Проверьте условие: если v заметно сравнима с c, вычисляйте γ и используйте p = γm₀v.
Энергию покоя считают кинетической. Такое происходит из-за привычки связывать любую энергию с движением. При v = 0 кинетическая энергия равна нулю, но E₀ = m₀c² остаётся; проверка — разделить E на E₀ и вычесть энергию покоя.
Полную энергию путают с кинетической. Полная энергия содержит два вклада, поэтому Eₖ не может просто равняться E. Всегда используйте Eₖ = E − E₀ и проверьте, что при покое получается ноль.
Формулу E = pc применяют к массивной частице. Её получают только при m₀ = 0, например для фотона. Если масса покоя ненулевая, подставьте данные в E² = p²c² + m₀²c⁴.
Перед изучением нужны постулаты специальной теории относительности, преобразования Лоренца, а также понятия массы, импульса и энергии. Связь энергии и импульса используется при анализе столкновений и распадов частиц, включая процессы с фотонами. Формула E₀ = m₀c² связывает механику с ядерной физикой и объясняет выделение энергии в ядерных реакциях.
Почему тело обладает энергией, даже когда покоится?
Покой означает отсутствие движения относительно выбранной системы отсчёта, но не отсутствие внутренней энергии. Согласно формуле E₀ = m₀c², сама масса покоя соответствует запасу энергии.
Чем полная энергия отличается от кинетической?
Полная энергия включает энергию покоя и энергию движения. Кинетическая энергия равна разности Eₖ = E − E₀.
Почему нельзя использовать классическую формулу импульса при скорости, близкой к скорости света?
Формула p = m₀v не учитывает релятивистский множитель γ. При приближении скорости к c этот множитель быстро возрастает, поэтому правильный импульс равен p = γm₀v.
Что означает множитель γ в формулах для импульса и энергии?
Множитель γ = 1/√(1 − v²/c²) показывает, насколько релятивистские величины отличаются от классических. При малых скоростях он почти равен единице, а при v, близкой к c, резко увеличивается.
Когда для частицы можно применять формулу E = pc?
Такая формула выполняется для частицы с нулевой массой покоя, например для фотона. Для частицы с m₀ ≠ 0 нужно использовать E² = p²c² + m₀²c⁴.
§ 27. Некоторые следствия специальной теории относительности
