"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч.1); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 2)
Специальная теория относительности показывает, что время, длина и энергия зависят от движения системы отсчёта. При скоростях, близких к скорости света, движущиеся часы идут медленнее, тела сокращаются вдоль движения, а импульс и энергия отличаются от классических. Главные формулы параграфа связывают эти эффекты с коэффициентом Лоренца и объясняют, почему масса тела связана с энергией.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Собственное время — время между двумя событиями, измеренное часами, находящимися в одной точке вместе с объектом. Оно обозначается Δt₀ и является самым коротким интервалом между этими событиями. Это исходная величина для расчёта промежутка времени в других системах.
Собственная длина — длина тела в системе отсчёта, где тело покоится. Её обозначают l₀, а измерение проводят одновременно по часам этой системы. Она нужна как эталон для сравнения с длиной движущегося тела.
Коэффициент Лоренца — величина γ = 1/√(1 − v²/c²), определяющая силу релятивистских эффектов. Здесь v — скорость тела, а c — скорость света в вакууме. При малых v коэффициент почти равен единице, но при приближении v к c быстро возрастает.
Эквивалентность массы и энергии — связь полной энергии тела с его массой формулой E = mc². Для движущегося тела используют E = γmc², а для покоящегося — E₀ = mc². Поэтому масса может рассматриваться как мера энергии покоя системы.
Преобразования Лоренца связывают координаты и время одного события в двух равномерно движущихся системах отсчёта. В них координата и время смешиваются, поэтому промежуток времени зависит не только от показаний часов, но и от выбранной системы. Из этого следует и относительность одновременности: события, одновременные для одного наблюдателя, могут происходить в разное время для другого.
Постоянство скорости света заставляет по-разному преобразовывать пространство и время, чтобы все наблюдатели получили одно и то же значение c. Если два события происходят рядом с движущимися часами, такой промежуток называют собственным временем Δt₀. В системе, где эти часы движутся, интервал равен Δt = γΔt₀, поэтому движущиеся часы кажутся замедленными.
Зависимость эффекта от скорости определяется коэффициентом γ: при увеличении v дробь v²/c² становится больше, а знаменатель уменьшается. Поэтому при обычных скоростях γ почти не отличается от единицы, и замедление незаметно. При v, близкой к c, даже небольшое увеличение скорости существенно меняет промежутки времени.
Чтобы измерить длину движущегося тела, нужно определить координаты его концов одновременно в выбранной системе. Преобразования Лоренца изменяют координату только вдоль скорости, поэтому l = l₀/γ, а поперечные размеры остаются прежними. Сокращение относится к сравнению с собственной длиной и не означает механического сжатия тела в его собственной системе.
Релятивистский импульс имеет вид p = γmv, а полная энергия — E = γmc²; кинетическая энергия равна Eк = (γ − 1)mc². При v значительно меньшей c γ ≈ 1, поэтому импульс переходит в p = mv, а разложение формулы энергии даёт Eк ≈ mv²/2. При больших скоростях классические формулы недооценивают рост импульса и энергии, потому что γ начинает заметно превышать единицу.
| Следствие | Формула | Что сравнивается | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| Замедление времени | Δt = γΔt₀ | Собственное время и интервал в движущейся системе | Движущиеся часы идут медленнее |
| Сокращение длины | l = l₀/γ | Собственная длина и длина движущегося тела | Сокращается размер вдоль движения |
| Релятивистский импульс | p = γmv | Импульс при большой скорости и классический mv | Импульс быстрее растёт при приближении к c |
| Релятивистская энергия | E = γmc² | Полная энергия тела и энергия покоя | Энергия зависит от скорости и массы |
| Энергия покоя и эквивалентность массы и энергии | E₀ = mc² | Масса покоя и запас энергии | Масса соответствует энергии даже без движения |
Сначала определите, какая величина является собственной: она измеряется в системе покоя объекта или при событиях в одной точке. Затем найдите γ и выберите формулу для времени, длины, импульса или энергии. При малых скоростях таблица позволяет проверить ответ переходом к классическим формулам.
Корабль движется со скоростью v = 0,8c. Один час по часам корабля — это собственное время, потому что события начала и конца этого часа происходят в одной точке корабля. Требуется найти соответствующий промежуток в системе отсчёта Земли.
Ответ: на Земле одному часу корабельного времени соответствуют примерно 1,67 часа, то есть 1 ч 40 мин. Земные часы в системе корабля также будут казаться замедленными, поскольку движение относительно.
Собственная длина стержня l₀ = 10 м, и он движется вдоль своей оси со скоростью v = 0,6c. Так как движение направлено вдоль стержня, изменится именно его продольный размер. Нужно найти длину, измеренную в лабораторной системе.
Ответ: лабораторная длина стержня равна 8 м. Его поперечные размеры при этом не сокращаются.
Пусть частица имеет массу покоя m и движется со скоростью, близкой к c. Требуется определить полную энергию, энергию покоя и кинетическую энергию. Численное значение получается после подстановки заданных в условии m и v.
Ответ: при скорости, близкой к c, используют релятивистские значения E и Eк. Классическое приближение допустимо только тогда, когда γ почти равен единице.
В формулу замедления времени подставляют не собственное время, потому что не определяют, где покоятся часы. Из-за этого перепутывают Δt и Δt₀. Проверьте, происходят ли оба события в одной точке системы измерения: только такой интервал является собственным.
Сокращение длины применяют к поперечному размеру тела, хотя эффект действует вдоль скорости. Ошибка возникает, когда направление движения не указано отдельно. Проверьте, параллельна ли измеряемая длина вектору скорости: если нет, её поперечная часть не сокращается.
При скоростях, сравнимых с c, используют p = mv и Eк = mv²/2. Эти формулы получены как приближение при γ ≈ 1 и уже не описывают быстрые частицы. Найдите γ перед вычислениями: если он заметно больше единицы, применяйте релятивистские формулы.
Релятивистские эффекты иногда объясняют механическим воздействием или поломкой часов. На самом деле часы в своей системе идут обычно, а различия появляются при сравнении систем отсчёта. Проверка проста: замените часы световым сигналом — следствие сохраняется из-за свойств пространства и времени.
Для понимания темы нужны постулаты специальной теории относительности, системы отсчёта, преобразования Лоренца, а также классические формулы импульса и энергии. Они показывают, откуда берутся новые выражения и в каких пределах работают старые.
Следствия СТО применяются в релятивистской динамике, физике элементарных частиц, ядерной энергетике и расчётах космических полётов. Без учёта этих эффектов нельзя правильно описать быстрые частицы и процессы, в которых выделяется большая энергия.
При малых скоростях релятивистские формулы переходят в классические. Поэтому специальная теория относительности не отменяет механику Ньютона, а уточняет её область применимости и объясняет, почему повседневные расчёты обычно дают хороший результат.
Кто на самом деле движется медленнее: часы на Земле или часы в ракете?
В системе отсчёта Земли медленнее идут часы ракеты, а в системе ракеты — земные часы. Это не противоречие: движение относительно, и каждый наблюдатель считает свою систему покоящейся.
Почему сокращается только длина вдоль направления движения?
Преобразования Лоренца изменяют координату, связанную с направлением движения, и время. Поперечные координаты не преобразуются, поэтому ширина и высота тела не сокращаются.
Можно ли заметить замедление времени при движении автомобиля?
В принципе, да, но эффект крайне мал. При скорости автомобиля отношение v²/c² очень мало, поэтому разницу можно обнаружить только точными часами.
Почему тело с массой покоя не может разогнаться до скорости света?
При приближении скорости к c коэффициент Лоренца неограниченно растёт. Для дальнейшего разгона потребовалась бы бесконечно большая энергия, поэтому тело с ненулевой массой покоя не достигает скорости света.
Чем энергия покоя отличается от кинетической энергии?
Энергия покоя E₀ = mc² существует у тела даже при отсутствии движения. Кинетическая энергия появляется из-за движения и равна Eк = E − E₀ = (γ − 1)mc².
§ 27. Некоторые следствия специальной теории относительности
