3. Основные положения специальной теории относительности

Определения и обозначения

Событие — явление, происходящее в определённой точке пространства и в определённый момент времени. Его описывают тремя координатами и временем, например x, y, z и t. Такое описание позволяет разным наблюдателям обсуждать одно и то же явление и сравнивать его измерения.

Инерциальная система отсчёта — система, в которой свободное тело движется равномерно и прямолинейно. Системы, движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, также считаются инерциальными. Это важно: положения специальной теории относительности сравнивают именно для таких систем.

Принцип относительности утверждает, что законы физики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта. Ни один такой наблюдатель не может обнаружить своё абсолютное движение с помощью опытов внутри системы. Принцип нужен, чтобы описывать физические законы независимо от того, какую инерциальную систему выбрали.

Постулат постоянства скорости света: в вакууме свет распространяется с одинаковой скоростью c для всех инерциальных наблюдателей, независимо от движения источника и наблюдателя. Скорость c — предельная и не складывается с обычной скоростью по классическому правилу. Вместе с принципом относительности этот постулат составляет основу специальной теории относительности (СТО).

Как это устроено

В классической механике время считали общим для всех наблюдателей: если два события произошли одновременно для одного, то и для другого. Скорости при переходе между системами складывали по правилу Галилея: если источник движется, его скорость прибавляется к скорости испущенного тела. Для света такой подход приводит к разным значениям его скорости у разных наблюдателей, но опыт с электромагнитными волнами этого не подтверждает. Значит, привычные представления о едином времени и сложении скоростей не подходят для описания света.

Представим поезд, в центре которого вспыхнула лампа, а у обоих концов стоят наблюдатели. Для человека в поезде свет проходит равные расстояния до концов, поэтому вспышки достигают их одновременно. Для наблюдателя на платформе поезд движется навстречу одному световому сигналу и удаляется от другого; при одинаковой скорости света пути до движущихся концов различаются. Чтобы согласовать результаты измерений, события, одновременные в поезде, не должны быть одновременными на платформе.

Два постулата СТО принимают вместе: принцип относительности требует одинаковых законов физики во всех инерциальных системах, а постоянство c задаёт особое поведение света. Если сохранить оба положения, координаты и время нельзя преобразовывать по формулам Галилея, где время одинаково для всех. Нужны преобразования Лоренца, связывающие координаты и время так, чтобы скорость света оставалась одной и той же. При малых скоростях эти преобразования практически не отличаются от галилеевых.

Из преобразований Лоренца следуют изменения измеряемых интервалов. Если два события происходят в одном месте системы, связанной с часами, промежуток между ними — собственное время Δτ; наблюдатель, относительно которого часы движутся, измерит больший интервал Δt = γΔτ. Здесь γ = 1/√(1 − v²/c²), где v — относительная скорость систем, а c — скорость света. Поэтому движущиеся относительно наблюдателя часы идут медленнее по сравнению с его часами.

Длина тела также зависит от системы наблюдения. Собственная длина L₀ измеряется в системе, где тело покоится; в системе, относительно которой оно движется со скоростью v, длина вдоль движения равна L = L₀/γ. Чтобы получить её, координаты двух концов нужно зафиксировать одновременно в системе измерения. Поперечные размеры не сокращаются, а при v, намного меньшей c, γ почти равен единице, поэтому классические оценки остаются точными.

Сравнение представлений классической механики и специальной теории относительности

Сравнивайте строки по отдельности: в каждой указано, какое представление меняется при переходе от классической механики к СТО. Для повседневных скоростей классическое описание остаётся хорошим приближением, но при скоростях, близких к c, нужно использовать релятивистские правила.

Разбор задач

Задача 1. Космический корабль движется относительно Земли, а внутри него включают фонарь. С какой скоростью свет распространяется для наблюдателя на Земле и для наблюдателя в корабле?

1. Выясним, какую величину требуется определить: скорость света относительно каждой из двух систем отсчёта.
2. По постулату постоянства скорости света каждый инерциальный наблюдатель измеряет в вакууме скорость c, даже если источник движется относительно него.
3. Не прибавляем к c скорость корабля: классическое правило сложения скоростей здесь неприменимо.

Ответ: и наблюдатель на Земле, и наблюдатель в корабле измерят скорость света c.

Задача 2. Собственные часы космонавта показывают 2,0 мкс между двумя событиями на корабле. Корабль движется относительно Земли со скоростью 0,6c. Какой интервал времени измерит наблюдатель на Земле?

1. События происходят на корабле в одном месте, поэтому 2,0 мкс — собственное время Δτ.
2. Вычислим лоренц-фактор: γ = 1/√(1 − 0,6²) = 1/√0,64 = 1,25.
3. В системе Земли часы движутся, поэтому Δt = γΔτ = 1,25 · 2,0 мкс = 2,5 мкс.

Ответ: земной наблюдатель измерит интервал 2,5 мкс. Он больше собственного времени, потому что события на корабле разделены промежутком времени между показаниями движущихся часов.

Задача 3. Стержень собственной длиной 100 м движется со скоростью 0,8c. Найдите его длину для земного наблюдателя и объясните, почему координаты концов измеряют одновременно.

1. Собственная длина L₀ = 100 м измерена в системе покоя стержня. Земля наблюдает стержень движущимся вдоль своей оси.
2. Находим γ = 1/√(1 − 0,8²) = 1/0,6 = 5/3. Тогда длина в земной системе L = L₀/γ = 100 · 3/5 = 60 м.
3. Длину определяют как разность координат концов в один и тот же момент времени. Если зафиксировать концы в разные моменты, за это время стержень успеет переместиться, и полученная разность не будет его длиной в земной системе.

Ответ: земной наблюдатель измерит 60 м; координаты концов стержня следует измерять одновременно в системе Земли.

Типичные ошибки

Скорость света иногда складывают со скоростью источника или наблюдателя, потому что переносят правило сложения скоростей из механики. Но для света в вакууме каждый инерциальный наблюдатель получает значение c. Проверка: спросите себя, не применяете ли вы формулу сложения классических скоростей к электромагнитной волне.

Одновременность считают абсолютной, поскольку в быту расстояния невелики, а скорости малы. При таких условиях разница во времени между наблюдателями незаметна, но это не делает её невозможной. Проверка: укажите систему отсчёта, относительно которой два события признаны одновременными.

Собственное время путают с временем движущихся часов и выбирают неверную систему для расчёта. Собственное время измеряют там, где часы покоятся и события происходят в одном месте; для внешнего наблюдателя движущиеся часы дают больший промежуток между событиями. Проверка: отметьте, в какой системе события пространственно совпадают.

Сокращение длины применяют поперёк движения или без одновременной фиксации концов. В СТО сокращается только размер вдоль направления движения, а длину в конкретной системе находят по координатам, измеренным в один момент этой системы. Проверка: определите направление скорости и убедитесь, что оба измерения сделаны одновременно.

Связь с другими темами

Для понимания СТО нужны понятия системы отсчёта, относительности движения, скорости и классического сложения скоростей: именно их привычное применение приходится пересматривать. Постулат постоянства скорости света связан со свойствами электромагнитных волн, изучаемыми в электродинамике. Далее положения СТО используют при изучении релятивистской динамики, связи энергии и массы и ядерной физики. Это помогает применять единую теорию от движения быстрых частиц до процессов в ядре.

Что запомнить

• Специальная теория относительности рассматривает физические явления в инерциальных системах отсчёта.
• Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
• Скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных наблюдателей.
• Одновременность событий, интервалы времени и длины тел могут зависеть от системы отсчёта.
• Время движущихся часов относительно наблюдателя замедляется.
• Длина движущегося тела сокращается вдоль направления движения.
• При скоростях, намного меньших скорости света, результаты СТО переходят в законы классической механики.