3. Превращения энергии при электромагнитных колебаниях

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности, в которой возникают электромагнитные колебания. Конденсатор обозначают ёмкостью C, катушку — индуктивностью L. Такое соединение нужно, чтобы энергия могла переходить между электрическим и магнитным полями.

Энергия электрического поля — энергия, запасённая заряженным конденсатором: Wэ = q²/(2C) = CU²/2. Здесь q — заряд, U — напряжение, C — ёмкость. Формула позволяет найти запас энергии по известному заряду или напряжению.

Энергия магнитного поля — энергия, запасённая током в катушке: Wм = LI²/2. Величина I — сила тока, а L — индуктивность катушки. Эта формула показывает, какой запас энергии создаёт ток.

Электромагнитные колебания — периодические превращения энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Процесс повторяется через равные промежутки времени. Так возникает собственный ритм контура.

Как это устроено

Соединим заряженный конденсатор с катушкой и замкнём цепь. Вначале между обкладками есть напряжение, поэтому электрическое поле заставляет заряды двигаться по проводнику. Катушка оказывается включённой в цепь и начинает накапливать энергию магнитного поля своего тока.

Во время разрядки заряд конденсатора уменьшается, значит, уменьшаются его напряжение и энергия электрического поля. Ток при этом увеличивается, потому что электрическое поле передаёт энергию движущимся зарядам. Чем сильнее ток, тем больше энергия магнитного поля катушки.

Когда конденсатор полностью разрядился, его напряжение равно нулю, а ток максимален. Однако ток не прекращается мгновенно: изменение тока порождает ЭДС самоиндукции, направленную против этого изменения. Благодаря самоиндукции ток продолжает течь и начинает заряжать конденсатор уже с противоположной полярностью.

Теперь ток постепенно уменьшается, а заряд и напряжение на конденсаторе растут. Магнитное поле катушки ослабевает и отдаёт энергию электрическому полю конденсатора. Когда обратная зарядка завершена, конденсатор снова имеет максимальную энергию, но ток равен нулю.

В идеальном контуре сопротивления нет, поэтому энергия не рассеивается: Wэ + Wм = W₀. Она периодически переходит из одной формы в другую, сохраняя общую величину. В реальной цепи сопротивление превращает часть энергии во внутреннюю энергию проводников, поэтому амплитуды тока и напряжения уменьшаются, а колебания затухают.

Превращения энергии в колебательном контуре

Читая таблицу слева направо, отслеживайте одновременно состояние конденсатора, ток и распределение энергии. После последней строки процесс возвращается к первому состоянию, но направление тока меняется. В идеальном контуре сумма двух энергий в каждой строке одинакова.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 20 мкФ заряжен до напряжения 100 В. Нужно найти энергию его электрического поля. Используем формулу, содержащую ёмкость и напряжение, а микрофарады переводим в фарады.

1. Переведём ёмкость: C = 20 мкФ = 20 · 10⁻⁶ Ф.
2. Подставим данные: Wэ = CU²/2 = 20 · 10⁻⁶ · 100²/2 Дж.
3. Вычислим: Wэ = 0,10 Дж.

Ответ: энергия электрического поля равна 0,10 Дж.

Задача 2

В идеальном контуре C = 10 мкФ, L = 0,40 Гн, начальное напряжение равно 60 В. В начале вся энергия находится в конденсаторе, а в момент максимального тока — в катушке, поэтому эти энергии можно приравнять.

1. Запишем равенство: CU²/2 = LIₘₐₓ²/2.
2. Сократим ½ и выразим ток: Iₘₐₓ = U√(C/L).
3. Подставим: Iₘₐₓ = 60√(10 · 10⁻⁶/0,40) ≈ 0,0095 А.

Ответ: максимальная сила тока примерно 9,5 мА.

Задача 3

Дано C = 4 мкФ, L = 0,25 Гн и начальное напряжение 50 В. Сначала найдём период и полную энергию, затем учтём, что при t = T/8 фаза равна π/4: энергии электрического и магнитного полей становятся равными.

1. T = 2π√LC = 2π√(4 · 10⁻⁶ · 0,25) ≈ 6,28 · 10⁻³ с = 6,28 мс.
2. Полная энергия W₀ = CU²/2 = 4 · 10⁻⁶ · 50²/2 = 0,005 Дж.
3. При t = T/8: Wэ = Wм = W₀/2 = 0,0025 Дж.
4. Из Wм = LI²/2 получаем I = √(2Wм/L) = √(0,005/0,25) ≈ 0,14 А.

Ответ: T ≈ 6,28 мс, Wэ = Wм = 2,5 мДж, I ≈ 0,14 А.

Типичные ошибки

Иногда считают, что энергии электрического и магнитного полей складываются со знаками. Это неверно: каждая энергия неотрицательна, меняется только их распределение. Проверка: подставьте значения в Wэ и Wм — обе величины не могут быть меньше нуля.

Другая ошибка — путать формулы Wэ = CU²/2 и Wм = LI²/2, используя ток для конденсатора или напряжение для катушки. Так происходит из-за смешения характеристик двух элементов. Проверьте себя по единицам и по физическому объекту, где хранится энергия.

Нельзя утверждать, что ток и напряжение максимальны одновременно. Максимальный ток соответствует нулевому напряжению на конденсаторе, а максимальное напряжение — нулевому току. Сверяйте ответ с крайними состояниями таблицы.

Закон сохранения полной энергии нельзя применять к реальному контуру без оговорки. Сопротивление превращает часть энергии во внутреннюю энергию проводников, поэтому Wэ + Wм уменьшается. Если амплитуда в условии затухает, потери нужно учитывать.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны формулы энергии заряженного конденсатора и магнитного поля катушки, понятия силы тока и самоиндукции. Эти представления позволяют вывести период собственных колебаний, формулу Томсона T = 2π√LC и установить фазовые соотношения между током и напряжением. Далее они используются при изучении переменного тока, резонанса, электромагнитных волн и радиотехнических устройств.

Что запомнить

• В колебательном контуре энергия периодически переходит между электрическим и магнитным полями.
• Энергия электрического поля конденсатора: Wэ = CU²/2.
• Энергия магнитного поля катушки: Wм = LI²/2.
• В идеальном контуре сумма Wэ + Wм постоянна.
• Максимум энергии конденсатора соответствует нулевому току.
• Максимум энергии катушки соответствует максимальному току и нулевому напряжению на конденсаторе.
• В реальном контуре из-за сопротивления колебания затухают.