"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч.1); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 2)
В колебательном контуре энергия попеременно запасается в электрическом поле конденсатора и магнитном поле катушки. При разряде конденсатора усиливается ток, а электрическая энергия переходит в магнитную; затем ток ослабевает, и конденсатор заряжается снова. В идеальном контуре сумма энергий постоянна, а в реальном часть энергии превращается в теплоту. Этот обмен помогает понять ход колебаний и причины их затухания.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Энергия электрического поля конденсатора — энергия, запасённая при разделении зарядов на его обкладках. Она зависит от заряда q и ёмкости C либо от ёмкости и напряжения U: Wэ = q²/(2C) = CU²/2. Эта формула позволяет находить запасённую энергию по тем величинам, которые известны в задаче.
Энергия магнитного поля катушки с током — энергия, связанная с магнитным полем, которое создаёт ток. Она зависит от индуктивности L катушки и силы тока I: Wм = LI²/2. Формула показывает, почему увеличение тока заметно увеличивает запас энергии.
Электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре — периодический обмен энергией между электрическим и магнитным полями. Идеальным называют контур, в котором сопротивлением пренебрегают. Это понятие помогает описать повторяющееся превращение энергии без её потерь.
Полная энергия колебательного контура — сумма энергий электрического и магнитного полей: W = Wэ + Wм. В идеальном контуре она сохраняется, хотя каждая составляющая отдельно меняется. Поэтому по известной полной энергии и одной составляющей можно определить другую.
В начале процесса конденсатор заряжен, а ток в цепи отсутствует или близок к нулю. Заряды на обкладках создают электрическое поле, и именно в нём запасена энергия. Когда конденсатор соединяют с катушкой, заряды начинают двигаться, то есть возникает ток. Энергия электрического поля убывает, а энергия магнитного поля катушки растёт.
При разряде ток продолжает усиливаться, потому что движущиеся заряды не останавливаются мгновенно: этому препятствует явление самоиндукции катушки. Когда конденсатор полностью разряжен, ток достигает максимума, а магнитное поле и его энергия становятся наибольшими. Затем ток начинает уменьшаться, но из-за самоиндукции продолжает течь в прежнем направлении. Он переносит заряды на обкладки конденсатора, поэтому конденсатор заряжается с обратной полярностью.
В идеальном контуре энергия не исчезает при переходе из одной формы в другую. Если электрическая энергия уменьшается на некоторую величину, магнитная возрастает на ту же величину, поэтому Wэ + Wм = const. В момент максимального заряда конденсатора электрическая энергия максимальна, а магнитная равна нулю. В момент максимального тока соотношение обратное: магнитная энергия максимальна, электрическая равна нулю.
Без сопротивления заряд и ток меняются гармонически: например, q = qₘ cos(ωt), а ток пропорционален sin(ωt). Поэтому энергии пропорциональны cos²(ωt) и sin²(ωt), сумма которых равна единице. Каждая энергия возвращается к прежнему значению через половину периода колебаний: квадрат синуса или косинуса повторяется при изменении фазы на π. На графике это видно по чередующимся максимумам энергий и неизменной линии полной энергии.
В реальной цепи сопротивление мешает движению зарядов и вызывает нагрев проводников. Электрическая и магнитная энергии постепенно переходят во внутреннюю энергию, поэтому их сумма уменьшается. Чем больше потери за один цикл, тем быстрее ослабевают колебания. Именно поэтому реальные колебания называют затухающими.
| Характеристика | Энергия электрического поля | Энергия магнитного поля | Полная энергия |
|---|---|---|---|
| Формула | Wэ = q²/(2C) = CU²/2 | Wм = LI²/2 | W = Wэ + Wм |
| От чего зависит | От заряда q и ёмкости C либо от C и напряжения U | От индуктивности L и силы тока I | От обеих энергий полей |
| Когда максимальна | При максимальном по модулю заряде конденсатора | При максимальном токе в катушке | В идеальном контуре — постоянно |
| Когда равна нулю | Когда заряд конденсатора равен нулю | Когда ток равен нулю | В идеальном контуре не равна нулю при наличии колебаний |
| Изменение во времени в идеальном контуре | Меняется как квадрат гармонически меняющегося заряда | Меняется как квадрат гармонически меняющегося тока | Не меняется: Wэ + Wм = const |
| Изменение в реальном контуре | Уменьшается по мере затухания колебаний | Уменьшается по мере затухания колебаний | Убывает из-за потерь на сопротивлении |
Сначала определите, какая величина известна: заряд или напряжение для конденсатора, ток для катушки, либо полная энергия для контура. Затем выберите соответствующую строку формул и проверьте, что величины выражены в единицах СИ. Для идеального контура используйте сумму энергий, а для реального учитывайте потери.
Конденсатор ёмкостью 20 мкФ заряжен до напряжения 100 В. Найдите энергию электрического поля.
Ответ: 0,1 Дж.
В катушке индуктивностью 0,4 Гн течёт ток 2 А. Найдите энергию магнитного поля.
Ответ: 0,8 Дж.
В идеальном контуре полная энергия равна 0,08 Дж. В некоторый момент энергия электрического поля составляет 0,03 Дж. Найдите энергию магнитного поля и укажите, какая часть энергии запасена в каждом поле.
Ответ: Wм = 0,05 Дж; в электрическом поле запасено 37,5% полной энергии, в магнитном — 62,5%.
Первая ошибка — применять формулу энергии конденсатора к катушке или наоборот. Причина обычно в том, что обе формулы описывают энергию поля, но зависят от разных величин: конденсатор — от q, C или U, катушка — от L и I. Перед подстановкой проверьте, какой элемент рассматривается и какие данные приведены.
Вторая ошибка — забывать квадрат напряжения или силы тока. Тогда энергия получается неверной и даже меняется не так, как должна при увеличении величины. Проверьте запись формулы до вычислений: в ней обязательно стоят U² или I². Удобно отдельно вычислить квадрат, а затем подставлять его.
Третья ошибка — считать, что электрическая и магнитная энергии одновременно достигают максимума. Это невозможно в идеальном контуре: максимальный заряд соответствует нулевому току, а максимальный ток — нулевому заряду. Сверьте момент с состоянием конденсатора и катушки: максимумы двух энергий чередуются.
Четвёртая ошибка — утверждать, что полная энергия сохраняется при любом сопротивлении. Такое утверждение верно для идеальной модели, а в реальном контуре часть энергии нагревает проводники. Проверьте условие задачи: если сопротивлением пренебрегают, сумма постоянна; если оно учитывается, энергия колебаний уменьшается.
Для изучения обмена энергией нужны закон сохранения энергии, формулы энергии конденсатора и катушки, а также представление о связи заряда и тока с колебаниями в контуре. Эти знания позволяют проследить, как изменяются поля и почему один вид энергии сменяется другим. Формулы также помогают рассчитывать энергию в конкретный момент колебаний.
Понимание потерь в реальном контуре объясняет затухание колебаний и нагрев проводников. Тот же принцип преобразования и передачи энергии помогает разбираться в работе электрических цепей и распространении электромагнитных волн. Идеальная модель показывает сам обмен, а реальные свойства системы уточняют, куда уходит часть энергии.
Почему энергия конденсатора зависит от квадрата напряжения?
При зарядке конденсатора напряжение растёт вместе с зарядом: q = CU. Работа по перемещению очередной порции заряда увеличивается по мере зарядки, поэтому итоговая энергия равна CU²/2, а не CU.
Когда энергия магнитного поля катушки максимальна?
Она максимальна, когда сила тока через катушку наибольшая, поскольку Wм = LI²/2. В этот момент заряд конденсатора равен нулю, а энергия его электрического поля минимальна.
Куда переходит энергия конденсатора при его разряде через катушку?
По мере разряда энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки. Это происходит потому, что ток усиливается, а вместе с ним растёт магнитное поле.
Почему энергии электрического и магнитного полей меняются быстрее, чем заряд и ток?
Энергии пропорциональны квадратам заряда и тока: Wэ = q²/(2C), Wм = LI²/2. При возведении гармонически меняющейся величины в квадрат её значения повторяются через половину периода, поэтому энергии меняются вдвое чаще.
Сохраняется ли полная энергия колебательного контура при наличии сопротивления?
Нет, электромагнитная энергия контура постепенно уменьшается. Из-за сопротивления проводников часть энергии превращается во внутреннюю энергию, то есть выделяется теплота, и колебания затухают.
3. Превращения энергии при электромагнитных колебаниях
