§ 20. Данные заряженных частиц в магнитном поле

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на движенную заряженную частицу в магнитном поле. Её модуль равен F = |q|vB sin α, где q — заряд, v — скорость, B — магнитная индукция, а α — угол между ними. Направление силы перпендикулярно скорости и магнитному полю, поэтому по ней определяют, куда отклоняется частица.

Радиус траектории — радиус окружности, которую частица описывает при скорости, перпендикулярной магнитному полю. Для такой составляющей движения r = mv/(|q|B), где m — масса частицы. Формула нужна, чтобы находить размер траектории по характеристикам частицы и поля.

Циклотронный период — время одного полного оборота частицы по окружности. При нерелятивистском движении он равен T = 2πm/(|q|B) и не зависит от скорости частицы. Это позволяет использовать магнитное поле для согласованного управления движением частиц.

Шаг винтовой линии — расстояние вдоль направления магнитного поля, которое частица проходит за один оборот. Он определяется продольной составляющей скорости: h = v∥T. Этот параметр показывает, насколько далеко вдоль поля смещается частица между двумя последовательными витками.

Как это устроено

Магнитная сила перпендикулярна скорости частицы, поэтому угол между силой и перемещением равен 90°. Работа силы равна произведению F s cos 90°, то есть нулю. Следовательно, кинетическая энергия и модуль скорости не меняются, хотя направление вектора скорости постоянно поворачивается.

Скорость частицы удобно разложить на две составляющие: v∥ вдоль магнитного поля и v⊥ перпендикулярно ему. Поле не действует на первую составляющую, потому что угол между ней и B равен нулю, а на вторую действует с максимальной силой. Поэтому продольное движение остаётся равномерным, а поперечное искривляется.

Если скорость полностью перпендикулярна полю, магнитная сила всё время направлена к центру окружности. Она играет роль центростремительной силы: |q|vB = mv²/r. После сокращения одной скорости получается r = mv/(|q|B), поэтому большая масса и скорость увеличивают радиус, а больший заряд или индукция его уменьшают.

При наличии продольной составляющей частица одновременно движется равномерно вдоль линий поля и вращается в плоскости, перпендикулярной им. За время одного оборота она смещается вдоль поля на расстояние v∥T. Сочетание этих двух независимых движений образует винтовую линию, а её шаг равен h = v∥T.

Знак заряда задаёт направление отклонения: для отрицательной частицы сила противоположна силе, действующей на положительную при тех же v и B. Период не зависит от начальной скорости, потому что при росте скорости радиус и длина окружности растут пропорционально, а отношение пути ко скорости сохраняется. Это утверждение справедливо для нерелятивистского движения, когда масса частицы постоянна.

Движение заряженной частицы в магнитном поле

Сначала определите составляющие скорости относительно направления магнитного поля, а затем выберите строку таблицы. Если скорость имеет обе составляющие, используйте одновременно формулы для окружного движения и продольного перемещения.

При проверке результата следите за единицами: радиус должен быть выражен в метрах, период — в секундах, а шаг — также в метрах. Знак заряда влияет на направление движения, но не должен делать радиус или период отрицательными.

Разбор задач

Задача 1. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью, перпендикулярной линиям магнитной индукции. Пусть v = 2,0·10⁷ м/с и B = 0,10 Тл; найти радиус и период движения. Используем mₑ = 9,1·10⁻³¹ кг и |qₑ| = 1,6·10⁻¹⁹ Кл.

1. Так как скорость перпендикулярна полю, траектория является окружностью, поэтому r = mv/(|q|B).
2. Подставим значения: r = (9,1·10⁻³¹ · 2,0·10⁷)/(1,6·10⁻¹⁹ · 0,10) ≈ 1,14·10⁻³ м.
3. Период найдём по формуле T = 2πm/(|q|B): T ≈ 3,6·10⁻¹⁰ с.

Ответ: радиус орбиты примерно 1,1 мм, период обращения — 3,6·10⁻¹⁰ с. Отрицательный заряд электрона изменит направление вращения, но не значения радиуса и периода.

Задача 2. Протон и электрон движутся с одинаковыми скоростями в одном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. Сравнить радиусы и периоды их траекторий. Модули зарядов частиц одинаковы и равны элементарному заряду.

1. Для радиуса используем r = mv/(|q|B). При одинаковых v, |q| и B радиусы относятся как массы: rₚ/rₑ = mₚ/mₑ.
2. Так как mₚ ≈ 1836mₑ, получаем rₚ ≈ 1836rₑ.
3. Для периода T = 2πm/(|q|B), поэтому Tₚ/Tₑ = mₚ/mₑ ≈ 1836.

Ответ: радиус и период движения протона примерно в 1836 раз больше, чем у электрона. Направления вращения при одинаковых начальных направлениях противоположны, потому что знаки зарядов различаются.

Задача 3. Частица со скоростью v = 10⁶ м/с влетает в поле под углом α = 60° к линиям индукции; m = 3,2·10⁻²⁷ кг, |q| = 1,6·10⁻¹⁹ Кл, B = 0,20 Тл. Найти радиус, период и шаг винтовой траектории.

1. Разложим скорость: v⊥ = v sin 60° ≈ 8,66·10⁵ м/с, v∥ = v cos 60° = 5,0·10⁵ м/с.
2. Радиус определяется только поперечной составляющей: r = mv⊥/(|q|B) ≈ 8,7·10⁻² м.
3. Период равен T = 2πm/(|q|B) ≈ 6,3·10⁻⁷ с.
4. Шаг равен h = v∥T, поэтому h ≈ 0,32 м.

Ответ: r ≈ 8,7 см, T ≈ 6,3·10⁻⁷ с, h ≈ 0,32 м. В решении поперечная скорость отвечает за вращение, а продольная — за продвижение вдоль поля.

Типичные ошибки

Считать, что магнитное поле изменяет кинетическую энергию частицы, — ошибка из-за смешения магнитной силы с силой, совершающей работу. Проверка проста: сила Лоренца перпендикулярна скорости, значит, её работа равна нулю.

Использовать полную скорость вместо v⊥ при нахождении радиуса винтовой линии неправильно, потому что только поперечное движение искривляется. Сначала разложите скорость на составляющие и подставляйте в r именно v⊥.

Забывать модуль заряда или получать отрицательный радиус часто заставляет знак заряда электрона. В формулах r и T используют |q|, а знак q применяют отдельно для определения направления вращения.

Определять отклонение по правилу левой руки без учёта знака заряда опасно: можно найти направление для положительного заряда, но ошибиться для электрона. Сначала мысленно определите силу для положительной частицы, затем измените направление на противоположное для отрицательной.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны сила Ампера и сила Лоренца, векторное произведение, равномерное движение по окружности и разложение вектора на составляющие. Эти знания объясняют направление силы и вывод формул.

Закономерности движения частиц используются в масс-спектрографе, циклотроне, магнитном сепараторе и при изучении плазмы. Позже они пригодятся при изучении ускорителей, электромагнитной индукции и физических основ масс-спектрометрии.

Что запомнить

• Магнитная сила действует только на движенную заряженную частицу.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости и магнитной индукции.
• Магнитное поле не изменяет скорость по модулю, а изменяет её направление.
• При перпендикулярном влёте частица движется по окружности.
• Радиус траектории равен r = mv/(|q|B).
• При наклонном влёте частица движется по винтовой линии.
• Период обращения T = 2πm/(|q|B) не зависит от скорости частицы.