"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Равновесное тепловое излучение — излучение, которое при постоянной температуре находится в равновесии с веществом. Его свойства определяются температурой и не зависят от природы тела, если рассматривается абсолютно чёрное тело. Классическая физика не смогла объяснить спектр такого излучения на высоких частотах. Гипотеза Планка устранила противоречие: энергия излучается и поглощается отдельными порциями — квантами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равновесное тепловое излучение — излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с веществом при постоянной температуре. Излучение и поглощение при этом не прекращаются, но в среднем компенсируют друг друга. Такое состояние позволяет изучать спектр, зависящий прежде всего от температуры.
Абсолютно чёрное тело — модель тела, полностью поглощающего падающее излучение и испускающего максимально возможное тепловое излучение. Оно не обязано быть буквально чёрным для глаза, поскольку цвет зависит от температуры. Модель нужна для сравнения реальных тел и установления общих законов излучения.
Спектральная плотность излучения — энергия излучения, приходящаяся на единицу объёма и единичный интервал частот или длин волн. Обозначения uν и uλ указывают, по какой величине распределена энергия. С её помощью можно определить, какие участки спектра дают наибольший вклад.
Гипотеза Планка — предположение, что энергия излучающих осцилляторов изменяется порциями, кратными кванту hν. Здесь h — постоянная Планка, а ν — частота излучения. Гипотеза объясняет наблюдаемую форму спектра там, где классическая физика оказывается несостоятельной.
Поместим излучающее вещество в замкнутую полость с отражающими стенками. Вещество испускает волны, стенки и частицы их поглощают, а затем энергия снова переизлучается. Через некоторое время устанавливается состояние, в котором интенсивности излучения и поглощения в среднем равны, поэтому температура и спектр перестают изменяться.
В равновесии форма спектра определяется температурой, потому что именно она задаёт распределение энергий частиц и осцилляторов вещества. Состав стенок влияет на то, как быстро устанавливается равновесие, но не на окончательный спектр абсолютно чёрного тела. Поэтому такая модель позволяет получить универсальный закон, применимый к разным веществам.
Классическая теория считала, что энергия осцилляторов может изменяться непрерывно и распределяется между всеми частотами. Закон Рэлея—Джинса при больших ν давал рост спектральной плотности примерно как ν³. Тогда суммарная энергия в области высоких частот становилась бесконечной, хотя опыт показывал резкое уменьшение излучения; это противоречие называют ультрафиолетовой катастрофой.
Планк допустил, что осциллятор не может иметь произвольную энергию: разрешены только значения En = nhν. Осциллятор меняет энергию скачком, испуская или поглощая порцию hν, а не любое сколь угодно малое количество. Связь энергии кванта с частотой объясняет, почему высокочастотные кванты требуют больших порций энергии.
Формула Планка учитывает и число возможных осцилляторов, и вероятность заполнения их энергетических уровней: uν = (8πhν³/c³)/(ehν/kT − 1). При малых частотах она переходит в закон Рэлея—Джинса, а при больших частотах экспоненциальный множитель подавляет рост. Поэтому формула совпадает с опытом на всём диапазоне частот.
При повышении температуры частицы получают больше энергии, поэтому возрастает излучение во всём спектре. Максимум кривой перемещается к большим частотам, или к меньшим длинам волн, согласно закону Вина. Полная энергия излучения растёт ещё быстрее: она пропорциональна четвёртой степени абсолютной температуры.
Таблица помогает различать величины, описывающие отдельный квант, распределение энергии и весь спектр. Сначала определите, идёт ли речь о частоте или длине волны, а затем выберите соответствующую формулу. Для температурных законов используйте абсолютную температуру в кельвинах.
| Величина или закон | Физический смысл | Формула или зависимость | От чего зависит |
|---|---|---|---|
| Энергия кванта | Энергия одной порции излучения | E = hν | От постоянной Планка и частоты |
| Энергетические уровни осциллятора | Допустимые значения энергии | En = nhν | От n, h и ν |
| Спектральная плотность по частотам uν | Распределение энергии по частотам | uν = (8πhν³/c³)/(ehν/kT − 1) | От частоты и температуры |
| Спектральная плотность по длинам волн uλ | Распределение энергии по длинам волн | uλ = (8πhc/λ⁵)/(ehc/λkT − 1) | От длины волны и температуры |
| Закон смещения Вина | Положение максимума спектра | λmaxT = b | От температуры; b ≈ 2,90·10−3 м·К |
| Закон Стефана—Больцмана | Зависимость полной энергии излучения от температуры | j = σT⁴ | От четвёртой степени абсолютной температуры |
Задача 1. Найдём энергию кванта излучения частотой 6,0·1014 Гц при h = 6,63·10−34 Дж·с. Нужно применить формулу Планка и внимательно перемножить степени десяти. Искомая величина относится к одному кванту, поэтому результат будет очень малым.
Ответ: E ≈ 4,0·10−19 Дж.
Задача 2. Максимум излучения приходится на λmax = 580 нм. Определим температуру по закону Вина, взяв b = 2,90·10−3 м·К. Сначала нужно перевести нанометры в метры, иначе единицы в формуле не совпадут.
Ответ: T = 5000 К.
Задача 3. Для одной частоты hν = kT1, а T2 = 2T1. Сравним спектральные плотности по формуле Планка, не вычисляя общий множитель 8πhν³/c³. При неизменной частоте он одинаков для обеих температур и сокращается.
Ответ: при температуре 2T1 спектральная плотность примерно в 2,65 раза больше.
Ошибка: считать, что равновесное излучение означает его отсутствие. Так думают, потому что слово равновесие связывают с неподвижностью. Проверьте себя: в равновесии продолжаются и излучение, и поглощение, но их средние мощности равны.
Ошибка: записывать энергию кванта как E = h или считать квант произвольной порцией. Причина — забытая физическая роль частоты. Проверка проста: в формуле E = hν при увеличении частоты энергия кванта должна увеличиваться.
Ошибка: смешивать uν и uλ. Эти величины относятся к разным интервалам спектра, поэтому максимум на графике по частотам не переводится в максимум по длинам волн простой заменой ν = c/λ. Всегда смотрите на индекс спектральной плотности и переменную по горизонтальной оси.
Ошибка: применять закон Рэлея—Джинса при любых частотах. Его вывод работает только в области низких частот, а на высоких приводит к ультрафиолетовой катастрофе. Если расчёт предсказывает неограниченный рост энергии при увеличении частоты, нужно использовать формулу Планка.
До изучения темы нужны понятия температуры и термодинамического равновесия, а также знания об электромагнитных волнах, частоте и длине волны. Эти величины связывают свойства вещества с характеристиками излучения. Без них трудно правильно читать спектральные графики и формулы.
Гипотеза Планка открывает путь к квантовой физике. Она понадобится при изучении фотоэффекта и атомных спектров, где энергия также обменивается дискретными порциями. Поэтому тепловое излучение связывает макроскопическую физику с микромиром.
Законы теплового излучения имеют практическое применение. По спектру определяют температуру звёзд, а тепловизоры регистрируют излучение объектов и строят изображение распределения температур. Эти методы основаны на зависимости спектра от температуры.
Почему тепловое излучение существует даже у тела, находящегося в равновесии?
Равновесие не означает прекращения процессов. Частицы вещества продолжают излучать и поглощать электромагнитные волны, но в среднем энергии излучается столько же, сколько поглощается.
Чем равновесное тепловое излучение отличается от излучения раскалённого тела в обычных условиях?
У раскалённого тела излучение может быстро уносить энергию, поэтому его температура меняется, а равновесие не устанавливается. При равновесном излучении тело и излучение имеют одну температуру, а обмен энергией в среднем компенсирован.
Почему Планку понадобилась гипотеза о квантовании энергии?
Классическая теория предсказывала неограниченный рост энергии излучения на высоких частотах. Эксперименты этого не подтверждали, поэтому Планк предположил, что осцилляторы обмениваются энергией дискретными порциями.
Что означает множитель n в формуле En = nhν?
Число n показывает, сколько квантов hν содержит энергия осциллятора. В рассматриваемой модели n принимает целые неотрицательные значения: 0, 1, 2 и так далее.
Чем отличаются спектральные плотности uν и uλ?
uν показывает, как энергия распределена по интервалам частот, а uλ — по интервалам длин волн. Это разные характеристики одного спектра, поэтому их значения нельзя сравнивать без учёта преобразования переменной.
§ 67. Равновесное тепловое излучение. Гипотеза Планка
