§ 7. Полезная и полная мощность тока в замкнутой цепи. Как передаётся электрическая энергия

Определения и обозначения

Полезная мощность тока — мощность, выделяемая во внешней части цепи и используемая нагрузкой: P_пол = I²R = UI. Она показывает, сколько энергии за единицу времени получает внешний резистор или прибор. Здесь R — сопротивление нагрузки, I — ток, U — напряжение на ней.

Полная мощность источника — мощность, которую источник передаёт всей замкнутой цепи: P_полн = ℰI. Она включает энергию, поступившую во внешнюю нагрузку, и энергию, потерянную внутри источника. Величина ℰ обозначает электродвижущую силу, а I — силу тока.

Электродвижущая сила — работа сторонних сил по перемещению единичного заряда внутри источника: ℰ = A/q. Сторонние силы поддерживают разделение зарядов и обеспечивают движение заряда по цепи. ЭДС измеряется в вольтах, как и напряжение, но описывает работу источника внутри себя.

Внутреннее сопротивление r — сопротивление самого источника тока, на котором часть энергии превращается во внутреннее тепло: P_внутр = I²r. Оно есть у батареи, аккумулятора и любого реального источника. Чем больше r, тем заметнее потери и тем меньше напряжение на внешней цепи.

Как это устроено

В замкнутой цепи заряд проходит не только через нагрузку, но и через внутреннее сопротивление источника. Поэтому полное сопротивление цепи складывается: R_полн = R + r. По закону Ома сила тока равна I = ℰ/(R + r), поскольку именно это сопротивление ограничивает ток, создаваемый ЭДС.

Энергия источника распределяется между двумя участками цепи. На внешнем сопротивлении выделяется полезная мощность I²R, а внутри источника — мощность потерь I²r. Суммируя эти величины, получаем P_полн = I²R + I²r = I²(R + r).

Полезная мощность имеет вид P_пол = I²R, потому что на внешнем резисторе напряжение равно U = IR, а мощность равна UI. Полная мощность записывается как P_полн = ℰI: источник сообщает каждому заряду энергию ℰ и за секунду перемещает заряд величиной I. Подстановка закона Ома подтверждает, что P_полн = I²(R + r).

Коэффициент полезного действия показывает долю энергии источника, которая дошла до нагрузки: η = P_пол/P_полн. Подставляя формулы мощностей и сокращая общий множитель I², получаем η = R/(R + r). Значит, увеличить КПД можно, сделав внутреннее сопротивление малым по сравнению с сопротивлением нагрузки.

Полезная мощность зависит от сопротивления нагрузки неравномерно: P_пол = ℰ²R/(R + r)². При малом R ток велик, но энергии на нагрузке выделяется мало из-за самого малого сопротивления; при большом R ток почти исчезает. Баланс достигается при R = r, когда полезная мощность максимальна, хотя половина энергии всё ещё теряется внутри источника.

Мощности и потери энергии в замкнутой цепи

Сначала по таблице определите, о каком участке цепи идёт речь: о нагрузке, источнике или всей цепи. Затем выберите формулу с нужным сопротивлением и не смешивайте P_пол с P_полн. Для проверки используйте равенство P_полн = P_пол + P_внутр.

Разбор задач

Задача 1. Источник с ℰ = 12 В и r = 1 Ом подключён к резистору R = 5 Ом. Требуется найти ток и три мощности.

1. Полное сопротивление равно R + r = 6 Ом, поэтому I = 12/6 = 2 А.
2. Полезная мощность нагрузки: P_пол = I²R = 2² · 5 = 20 Вт.
3. Полная мощность источника: P_полн = ℰI = 12 · 2 = 24 Вт.
4. Внутренние потери: P_внутр = I²r = 2² · 1 = 4 Вт. Проверка: 20 + 4 = 24 Вт.

Ответ: I = 2 А, P_пол = 20 Вт, P_полн = 24 Вт, P_внутр = 4 Вт.

Задача 2. Пусть ℰ = 24 В, r = 2 Ом, а полезная мощность равна 32 Вт. Используем P_пол = ℰ²R/(R + r)², поэтому 32 = 576R/(R + 2)². После преобразования получаем R² − 14R + 4 = 0.

1. Находим корни: R = (14 ± √180)/2 = 7 ± 3√5 Ом.
2. Численно это R₁ ≈ 0,292 Ом и R₂ ≈ 13,708 Ом.
3. Токи равны I = 24/(R + 2): для первого режима I₁ ≈ 10,47 А, для второго I₂ ≈ 1,528 А.

Ответ: возможны два режима: R₁ ≈ 0,292 Ом, I₁ ≈ 10,47 А и R₂ ≈ 13,708 Ом, I₂ ≈ 1,528 А.

Задача 3. Для ℰ = 18 В и r = 3 Ом нужно найти режим максимальной полезной мощности. Условие максимума передачи мощности даёт R = r, значит R = 3 Ом.

1. Ток в цепи: I = 18/(3 + 3) = 3 А.
2. Максимальная полезная мощность: P_пол = I²R = 9 · 3 = 27 Вт.
3. КПД: η = R/(R + r) = 3/6 = 0,5, или 50 %.

Ответ: R = 3 Ом, P_{пол max} = 27 Вт, η = 50 %.

Типичные ошибки

Полной мощностью называют I²R, хотя это мощность только внешней нагрузки. Ошибка возникает из-за привычки считать мощность на одном резисторе. Проверяйте, относится ли сопротивление к нагрузке или ко всей цепи: для источника нужна формула ℰI.

В законе Ома для полной цепи используют I = ℰ/R и забывают r. Так можно рассуждать только об идеальном источнике без внутренних потерь. Перед расчётом записывайте полное сопротивление R + r.

ЭДС принимают за напряжение на зажимах источника. При замкнутой цепи часть напряжения падает на r, поэтому U = IR = ℰ − Ir. Если r не равно нулю, напряжение нагрузки меньше ЭДС.

Считают, что большая нагрузка всегда даёт большую полезную мощность. При росте R ток уменьшается, поэтому мощность сначала растёт, а затем падает. Условие максимума проверяется равенством R = r, а не выбором самого большого сопротивления.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон Ома для участка цепи, формулы работы и мощности тока, а также понятия ЭДС и внутреннего сопротивления. Они позволяют перейти от описания цепи к расчёту энергии. Без этих основ трудно правильно выбрать формулу.

Тема применяется при расчёте батарей, аккумуляторов, источников питания и электрических цепей. Она помогает оценить, какая часть энергии достаётся прибору, а какая теряется в источнике. Это важно при выборе режима работы нагрузки.

Дальше эти идеи используются при изучении энергетических характеристик источников и передачи электрической энергии. Понятия мощности, потерь и КПД связывают отдельную цепь с практическими энергетическими системами. Поэтому формулы применимы не только к одному резистору.

Что запомнить

• Для полной цепи I = ℰ/(R + r).
• Полная мощность источника P_полн = ℰI.
• Полезная мощность внешней цепи P_пол = I²R = UI.
• Мощность внутренних потерь P_внутр = I²r.
• Полная мощность равна сумме полезной мощности и мощности потерь.
• КПД цепи η = R/(R + r).
• Максимальная полезная мощность достигается при равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений: R = r.