§ 8. Закон Ома для участка цепи с источником тока. Правила Кирхгофа

Определения и обозначения

Электродвижущая сила (ЭДС) — энергетическая характеристика источника, равная работе сторонних сил по переносу единичного заряда. Её обозначают ε и измеряют в вольтах (В). ЭДС показывает, какую энергию источник сообщает каждому кулону заряда.

Внутреннее сопротивление источника — сопротивление его токопроводящих частей, находящихся внутри корпуса. Его обозначают r и измеряют в омах. Оно влияет на ток, потому что входит в общее сопротивление цепи, а при прохождении тока вызывает падение напряжения внутри источника.

Узел электрической цепи — место соединения трёх или более ветвей. Ветвью называют участок между двумя узлами, по которому течёт ток. Токи в узле связаны законом сохранения заряда: заряд не может постоянно накапливаться в одной точке цепи.

Правила Кирхгофа — два правила для расчёта сложных цепей: первое связывает токи в узлах, второе — напряжения в замкнутых контурах. Они следуют из законов сохранения заряда и энергии. Поэтому правила позволяют составлять уравнения даже для разветвлённых цепей.

Как это устроено

Пассивное сопротивление только преобразует электрическую энергию в другие виды, например во внутреннюю энергию проводника. Источник тока действует иначе: внутри него сторонние силы перемещают заряды против действия электрического поля. Благодаря этому источник разделяет заряды и поддерживает разность потенциалов на своих зажимах.

Пусть источник с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r замкнут на внешнее сопротивление R. Во всей последовательной цепи течёт один и тот же ток I, а полное сопротивление равно R + r. По закону Ома ε = I(R + r), или I = ε/(R + r): ЭДС расходуется на падение напряжения и во внешней, и во внутренней частях цепи.

На внешнем сопротивлении напряжение равно IR, а внутри источника падение напряжения равно Ir. При разряде источника напряжение на зажимах U = ε − Ir, поэтому оно меньше ЭДС. Разность Ir показывает, какая часть энергии на единицу заряда теряется внутри источника; при увеличении тока эта потеря возрастает.

Для узла выбирают знаки токов и записывают их алгебраическую сумму: например, входящие токи считают положительными, а выходящие — отрицательными. Тогда первое правило имеет вид ΣI = 0, или сумма входящих токов равна сумме выходящих. Для замкнутого контура выбирают направление обхода и складывают изменения напряжения: второе правило записывают как ΣΔU = 0, поскольку после полного обхода энергия возвращается к исходному значению. При переходе через источник от минуса к плюсу ЭДС берут со знаком плюс, а на резисторе по направлению тока учитывают падение IR.

Законы и правила для расчёта электрических цепей

Сначала определите, какой элемент цепи требуется рассчитать: всю последовательную цепь, узел или контур. В сложной схеме задайте направления токов и обхода, а затем подставляйте их в соответствующее правило. Отрицательный результат не означает ошибку автоматически: он показывает, что выбранное направление противоположно настоящему.

Разбор задач

Задача 1. Источник и резистор

Источник имеет ЭДС 12 В и внутреннее сопротивление 1 Ом, а внешний резистор — сопротивление 5 Ом. Нужно найти ток и напряжение на зажимах источника. Цепь последовательная, поэтому через источник и резистор проходит один ток.

1. Полное сопротивление равно R + r = 5 Ом + 1 Ом = 6 Ом.
2. По закону Ома для полной цепи I = ε/(R + r) = 12 В/6 Ом = 2 А.
3. Напряжение на внешнем резисторе и зажимах источника при разряде: U = IR = 2 А · 5 Ом = 10 В. То же получается из формулы U = ε − Ir = 12 В − 2 А · 1 Ом.

Ответ: сила тока равна 2 А, напряжение на зажимах источника — 10 В. Оставшиеся 2 В приходятся на падение напряжения внутри источника.

Задача 2. Токи в узле

В узел входят токи 2 А и 0,7 А, а выходят два тока, один из которых равен 1,1 А. Требуется найти второй выходящий ток. Удобнее использовать форму правила: сумма входящих токов равна сумме выходящих.

1. Сумма входящих токов: 2 А + 0,7 А = 2,7 А.
2. Обозначим неизвестный выходящий ток через I. Тогда 2,7 А = 1,1 А + I.
3. Отсюда I = 2,7 А − 1,1 А = 1,6 А.

Ответ: второй ток, выходящий из узла, равен 1,6 А. Проверка выполняется сложением выходящих токов: 1,1 А + 1,6 А = 2,7 А.

Задача 3. Двухконтурная цепь

В двухконтурной цепи есть два источника с ЭДС ε₁ и ε₂, их внутренние сопротивления r₁ и r₂, а также общий резистор R. Числовых данных нет, поэтому составим общий алгоритм уравнений. Направления токов можно выбрать произвольно.

1. Задайте токи I₁ и I₂ в боковых ветвях и ток I₃ через общий резистор, затем выберите направления обхода обоих контуров.
2. Для узла, где сходятся ветви, запишите первое правило Кирхгофа: например, I₁ + I₂ − I₃ = 0, если первые два тока входят, а третий выходит.
3. Для левого контура запишите второе правило: ε₁ − I₁r₁ − I₃R = 0, если обход совпадает с направлениями соответствующих токов.
4. Для правого контура знаки определите тем же способом: например, ε₂ − I₂r₂ − I₃R = 0. Полученную систему решают относительно токов, а отрицательный результат трактуют как противоположное выбранное направление.

Ответ: расчёт двухконтурной цепи требует одного уравнения первого правила и уравнений второго правила для независимых контуров. После решения полезно проверить исходное узловое равенство и размерность всех слагаемых.

Типичные ошибки

Приравнивать напряжение на зажимах к ЭДС при наличии тока — ошибка. Так делают, если не учитывают работу источника по перемещению зарядов внутри себя. Проверка: при разряде должно выполняться U = ε − Ir, поэтому при r и I, отличных от нуля, U меньше ε.

Не учитывать внутреннее сопротивление в формуле для полной цепи нельзя. Ошибка возникает из-за применения формулы I = ε/R, которая подходит только при пренебрежимо малом r. Проверяйте себя записью I = ε/(R + r): внутреннее сопротивление обязательно входит в сумму.

Считать все токи в узле положительными без соглашения о знаках приводит к неверному уравнению. Причина — смешение входящих и выходящих токов. Перед записью ΣI = 0 отметьте направление каждого тока и используйте одно правило для всей схемы.

Записывать уравнение контура без направления обхода тоже опасно. Знаки ЭДС и падений напряжения зависят от того, в какую сторону пересекают источник и резистор. Чтобы проверить себя, пройдите контур по выбранной стрелке и для каждого элемента определите, повышается или уменьшается потенциал.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны закон Ома для участка цепи, понятия силы тока, напряжения и сопротивления. Также пригодятся правила последовательного и параллельного соединения проводников.

Правила Кирхгофа опираются на фундаментальные законы сохранения. Первое правило связано с сохранением заряда, а второе — с сохранением энергии при движении заряда по замкнутому контуру.

Эти правила особенно полезны для разветвлённых цепей. Их применяют, когда схему нельзя свести только к последовательному или параллельному соединению сопротивлений.

Что запомнить

• Для замкнутой цепи I = ε/(R + r).
• При разряде источника напряжение на зажимах U = ε − Ir.
• Первое правило Кирхгофа выражает сохранение заряда в узле.
• Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
• Второе правило Кирхгофа выражает сохранение энергии в замкнутом контуре.
• Знаки токов, ЭДС и напряжений выбирают по принятому направлению обхода и затем соблюдают последовательно.