3. Теория атома Бора

Определения и обозначения

Постулаты Бора — два исходных положения о состояниях атома и переходах между ними. Первый постулат вводит состояния, в которых электрон не излучает, а второй связывает переходы с испусканием или поглощением фотонов. Эти правила позволяют объяснить устойчивость атома и его спектр.

Стационарное состояние — состояние атома с определённой энергией, в котором электрон не излучает энергию. Слово «стационарное» означает, что энергия атома остаётся неизменной, хотя электрон движется. Это понятие помогает понять, почему электрон не теряет энергию непрерывно.

Квантование момента импульса — условие mvr = nℏ, где m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, ℏ — постоянная Планка, делённая на 2π, а n — целое положительное число. Оно означает, что возможны не любые орбиты, а только орбиты с определёнными значениями момента импульса. Так модель Бора задаёт набор разрешённых состояний.

Энергетический уровень — разрешённое значение энергии атома, соответствующее главному квантовому числу n. Чем больше n, тем выше уровень, а для водорода энергия при этом приближается к нулю снизу. Уровни нужны, чтобы описывать, между какими состояниями может переходить электрон.

Как это устроено

Модель Резерфорда представляла атом как маленькое ядро и движущиеся вокруг него электроны, но не объясняла, почему атом не разрушается. Согласно классической электродинамике, электрон на орбите движется с ускорением, а ускоренный заряд должен излучать электромагнитные волны. Теряя энергию, он должен был бы приближаться к ядру и в конце концов упасть на него. Кроме того, непрерывная потеря энергии не объясняла бы отдельные линии в спектре атома.

Первый постулат Бора устраняет это противоречие, вводя стационарные орбиты. Электрон на такой орбите движется, но не излучает энергию; значит, его движение не приводит к постепенному падению на ядро. Стационарным состояниям соответствуют определённые значения энергии, а не непрерывный набор значений. Излучение или поглощение модель допускает только при переходе с одной орбиты на другую.

Разрешённые радиусы можно найти из двух условий. Для электрона в круговой орбите кулоновская сила служит центростремительной: kZe²/r² = mv²/r, где k — коэффициент в законе Кулона, e — элементарный заряд ядра. Это равенство связывает скорость и радиус, а условие mvr = nℏ оставляет только отдельные значения момента импульса. После подстановки получают rₙ = a₀n²/Z: радиус растёт как квадрат n и уменьшается при увеличении заряда ядра Z.

Энергия электрона складывается из кинетической и потенциальной энергий электрического взаимодействия с ядром. В принятой системе отсчёта потенциальная энергия равна нулю при бесконечном удалении электрона, поэтому у связанного электрона полная энергия отрицательна. Для водородоподобного атома Eₙ = −13,6Z²/n² эВ; при n = 1 энергия наименьшая и соответствует основному состоянию. С ростом n энергия становится менее отрицательной и приближается к нулю, то есть к границе ионизации.

Второй постулат Бора объясняет, откуда берутся спектральные линии. При переходе с начального уровня i на конечный уровень f атом испускает или поглощает фотон, энергия которого связана с изменением энергии атома: hν = Eᵢ − E𝒻. При переходе вниз эта разность положительна и энергия уходит в фотон; при переходе вверх атом получает энергию фотона. Поскольку уровни дискретны, возможны только определённые разности энергий, а значит, и определённые частоты света.

Основные величины и соотношения в модели Бора

Сначала определите, рассматривается ли водород или водородоподобный ион: от этого зависит Z. Затем подставьте главное квантовое число в формулу радиуса или энергии. Для перехода найдите разность уровней и проверьте направление: при излучении энергия фотона должна получиться положительной.

Разбор задач

Энергия электрона на втором уровне атома водорода

Нужно найти энергию электрона при n = 2. Атом водорода имеет один протон в ядре, поэтому Z = 1. Используем формулу Eₙ = −13,6Z²/n² эВ, а отрицательный знак ожидаем, потому что электрон связан с ядром.

1. Записываем данные: n = 2, Z = 1.
2. Подставляем: E₂ = −13,6 · 1²/2² эВ.
3. Вычисляем: E₂ = −13,6/4 = −3,4 эВ.

Ответ: энергия электрона на втором уровне равна −3,4 эВ.

Радиус третьей орбиты иона He⁺

Ион He⁺ содержит один электрон, а заряд его ядра равен +2e, поэтому Z = 2. Используем rₙ = a₀n²/Z и берём n = 3. Для сравнения можно применить ту же формулу к третьей орбите водорода, где Z = 1: у иона радиус должен оказаться вдвое меньше.

1. Подставляем значения для He⁺: r₃ = a₀ · 3²/2.
2. Упрощаем: r₃ = 9a₀/2 = 4,5a₀.
3. Для водорода r₃ = 9a₀, поэтому r₃(He⁺) = r₃(H)/2. Если a₀ ≈ 0,529 Å, то радиус иона около 2,38 Å.

Ответ: радиус третьей орбиты He⁺ равен 4,5a₀, или примерно 2,38 Å.

Излучение водорода при переходе n = 4 → n = 2

Электрон переходит на уровень с меньшим n, значит, атом теряет энергию и излучает фотон. Энергии уровней водорода найдём по формуле Eₙ = −13,6/n² эВ. После разности энергий вычислим частоту по hν = ΔE, а длину волны — по λ = c/ν; такой переход относится к серии Бальмера, поскольку конечный уровень равен двум.

1. Находим уровни: E₄ = −13,6/16 = −0,85 эВ; E₂ = −13,6/4 = −3,4 эВ.
2. Энергия фотона ΔE = E₄ − E₂ = 2,55 эВ ≈ 4,09 · 10⁻¹⁹ Дж.
3. При h ≈ 6,626 · 10⁻³⁴ Дж·с получаем ν = ΔE/h ≈ 6,17 · 10¹⁴ Гц.
4. Вычисляем λ = c/ν ≈ 3,00 · 10⁸/(6,17 · 10¹⁴) ≈ 4,86 · 10⁻⁷ м.

Ответ: ν ≈ 6,17 · 10¹⁴ Гц, λ ≈ 486 нм; это линия серии Бальмера.

Типичные ошибки

• Считать, что электрон излучает на каждой стационарной орбите. Так происходит путаница с классической моделью, где ускоренный заряд теряет энергию. В модели Бора излучение происходит только при переходе между состояниями. Проверка: если орбита названа стационарной, энергия электрона на ней не меняется.
• Принимать отрицательную энергию за отсутствие энергии. Минус показывает, что электрон связан с ядром, а нулём выбрано состояние свободного электрона вдали от атома. Проверка: для удаления электрона нужно сообщить энергию, равную модулю отрицательной энергии уровня.
• Не учитывать направление перехода в формуле Eᵢ − E𝒻. При переходе вниз эта разность положительна, фотон испускается; при переходе вверх атом поглощает энергию. Ошибку легко заметить по знаку результата: энергия фотона не может быть отрицательной, поэтому при поглощении нужно определить положительную энергию, которую получает атом.
• Забывать заряд ядра Z. Формулы для водорода можно ошибочно применить к иону, хотя энергия зависит от Z², а радиус — от 1/Z. Проверка: сначала запишите заряд ядра; например, для He⁺ Z = 2, даже если у иона остался только один электрон.

Связь с другими темами

Для вывода формул Бора нужны закон Кулона, движение по окружности и представления о работе и энергии; для переходов используется связь энергии фотона с частотой. Теория объясняет линейчатый спектр водорода и связывает его с формулой Ридберга. Она служит шагом к изучению квантовых состояний и строения атома, а спектральные переходы применяются в спектральном анализе и при объяснении работы лазеров.

Что запомнить

• В атоме существуют только разрешённые стационарные состояния.
• На стационарной орбите электрон не излучает энергию.
• Момент импульса электрона квантуется: mvr = nℏ.
• Энергия уровня атома водорода Eₙ = −13,6/n² эВ.
• При переходе электрона между уровнями испускается или поглощается фотон.
• Энергия фотона равна разности энергий начального и конечного уровней.
• Линейчатый спектр атома возникает из-за дискретности энергетических уровней.