"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Равномерно заряженная сфера — тело, заряд которого одинаково распределён по объёму. Благодаря сферической симметрии её электрическое поле направлено по радиусу, а напряжённость определяется только расстоянием до центра. Внутри сферы поле растёт прямо пропорционально расстоянию и равно нулю в центре, а снаружи убывает как 1/r², словно весь заряд сосредоточен в центре.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерно заряженная сфера — сфера, заряд которой одинаково распределён по всему объёму. Её характеризуют радиусом R и полным зарядом Q. Такое распределение создаёт сферическую симметрию и позволяет описывать поле только расстоянием r до центра.
Напряжённость электрического поля — векторная величина, равная отношению силы, действующей на пробный заряд, к этому заряду: E = F/q. Она показывает, какая сила приходится на единичный положительный заряд. Буквой E обозначают модуль напряжённости, а направление связывают с направлением силы на положительный заряд.
Объёмная плотность заряда — отношение заряда к объёму тела: ρ = Q/V. Для сферы объём V = 4πR³/3, поэтому ρ = 3Q/(4πR³). Эта величина нужна, чтобы найти заряд, содержащийся в части сферы.
Гауссова поверхность — мысленная замкнутая поверхность, выбранная для вычисления потока электрического поля. В задаче о сфере удобно взять поверхность радиуса r с тем же центром. Тогда напряжённость одинакова по всей поверхности, и закон Гаусса применяется особенно просто.
Заряд сферы распределён одинаково во всех направлениях относительно центра, поэтому ни одно направление не выделено. Если повернуть систему вокруг центра, физическая картина не изменится. Значит, поле направлено по радиусу, а его модуль может зависеть только от расстояния r, но не от положения точки на сфере.
Выберем гауссову сферу радиуса r. В каждой её точке модуль E одинаков, а вектор поля направлен вдоль внешней нормали, поэтому поток равен E·4πr². По закону Гаусса этот поток связан с заключённым зарядом: E·4πr² = 4πkQвн, откуда E = kQвн/r².
Если гауссова поверхность находится внутри тела, она охватывает только меньшую сферу радиуса r. При постоянной плотности заряд пропорционален объёму этой части, а объём пропорционален r³. Поэтому Qвн = Qr³/R³, если Q — полный заряд сферы радиуса R.
Подстановка внутреннего заряда в закон Гаусса даёт E = kQr/R³: один множитель r³ сокращается с r² площади гауссовой поверхности. Поэтому внутри поле растёт линейно от нуля в центре до значения на границе. Снаружи Qвн уже равен всему Q, и получается E = kQ/r² — поле точечного заряда в центре; на поверхности E = kQ/R².
| Свойство | Внутри сферы (r < R) | На поверхности (r = R) | Снаружи сферы (r > R) |
|---|---|---|---|
| Заключённый гауссовой поверхностью заряд | Qвн = Qr³/R³ | Q | Q |
| Формула для напряжённости | E = kQr/R³ | E = kQ/R² | E = kQ/r² |
| Зависимость от расстояния r | Прямо пропорциональна r | Максимум на границе | Обратно пропорциональна r² |
| Направление поля | По радиусу | По радиусу | По радиусу |
| Значение напряжённости в центре и на границе | В центре 0, на границе kQ/R² | kQ/R² | При удалении стремится к 0 |
| Эквивалентная модель источника | Заряд внутри радиуса r | Весь заряд Q | Точечный заряд Q в центре |
Сначала сравните расстояние r с радиусом R, а затем выберите нужный столбец. В формулах для модуля обычно используют |Q|, а знак заряда определяет направление поля. На границе обе области дают одинаковый результат, поэтому разрыва напряжённости нет.
Задача 1. Сфера радиусом R заряжена суммарным зарядом Q. Найти напряжённость в точке на расстоянии r > R от центра. Точка находится снаружи, поэтому гауссова поверхность охватывает весь заряд.
Ответ: E = kQ/r² по модулю.
Задача 2. Найти поле внутри сферы на расстоянии r < R, если известны Q и R. Внутри действует не весь заряд, а только заряд меньшей сферы радиуса r.
Ответ: E = kQr/R³; в центре поле равно нулю.
Задача 3. Нужно построить E(r) и найти расстояния, где напряжённость равна заданному E₀. Вводим безразмерные величины x = r/R и Eₙ = E/(kQ/R²).
Ответ: формулы выбирают по условию r < R или r > R; максимальное поле равно kQ/R².
Применять формулу точечного заряда внутри сферы неверно, потому что она учитывает полный Q. Внутри гауссова поверхность охватывает лишь Qвн. Проверьте себя: при r = 0 правильная внутренняя формула должна давать E = 0.
Иногда считают поле внутри постоянным, поскольку плотность заряда постоянна. Но заключённый заряд увеличивается вместе с объёмом, поэтому E растёт линейно. Сверьте результат с двумя точками: в центре поле нулевое, на поверхности — максимальное.
Подстановка полного Q во внутреннюю формулу даёт E = kQ/r² и искусственно создаёт слишком большое поле у центра. Причина ошибки — забыто условие о зарядовой части, охваченной гауссовой поверхностью. Сначала найдите Qвн = Qr³/R³, а потом подставляйте его.
Радиус R и расстояние r — разные величины: R задаёт размер тела, а r положение точки. Если r < R, используйте внутреннюю формулу; если r > R — внешнюю. На границе обе формулы обязаны совпасть.
Для решения нужны закон Кулона, понятие напряжённости, сферическая симметрия и закон Гаусса. Тема связывает распределение заряда с формой электрического поля. Внешнее поле сферы совпадает с полем точечного заряда, а полученные формулы пригодятся при изучении потенциала, проводников, конденсаторов и других распределений заряда.
Почему внутри сферы поле не такое же, как у точечного заряда в центре?
Точечный заряд в центре создаёт поле, пропорциональное 1/r² при любом r. Внутри равномерно заряженной сферы учитывается только заряд, заключённый внутри выбранного радиуса, а он пропорционален r³. Поэтому итоговая напряжённость внутри пропорциональна r.
Почему в центре равномерно заряженной сферы напряжённость равна нулю?
В центре вклады от зарядов симметрично расположенных участков сферы взаимно компенсируются. Кроме того, формула внутреннего поля E = kQr/R³ сразу даёт E = 0 при r = 0.
Как определить заряд, заключённый внутри гауссовой поверхности?
При равномерном распределении заряда плотность одинакова во всех точках. Поэтому заряд внутри сферы радиуса r равен Qвн = ρ·4πr³/3, или Qвн = Qr³/R³.
Меняется ли напряжённость скачком при переходе через поверхность сферы?
Нет, для объёмно заряженной сферы напряжённость непрерывна. При r = R обе формулы дают одно и то же значение: E = kQ/R².
Можно ли применять эти формулы к неравномерно заряженной сфере?
В общем случае нельзя: при неравномерном распределении сферическая симметрия поля может нарушиться. Формулы применимы, если распределение сохраняет нужную симметрию и известно, как заряд зависит от радиуса.
3. Поле равномерно заряженной сферы
