3. Равновесие подвешенных на нитях заряженных шариков в воздухе и в жидком диэлектрике

Определения и обозначения

Равновесие шарика на нити — состояние, при котором сумма действующих на шарик сил равна нулю. Это означает, что шарик не ускоряется и остаётся неподвижным. Для расчёта удобно отдельно рассматривать силы вдоль горизонтали и вертикали. Так условие равновесия превращается в два уравнения.

Электростатическая сила взаимодействия — сила отталкивания одноимённо заряженных шариков, направленная вдоль линии, соединяющей их центры. Заряды одного знака отталкиваются, а противоположных знаков притягиваются. В рассматриваемой задаче шарики расходятся в стороны именно из-за отталкивания. Направление силы нужно учитывать при составлении уравнений равновесия.

Относительная диэлектрическая проницаемость — величина ε, показывающая, во сколько раз электростатическое взаимодействие в среде слабее, чем в вакууме. Это безразмерная характеристика вещества. Чем больше ε, тем меньше сила между теми же зарядами на том же расстоянии. В закон Кулона для среды ε входит в знаменатель.

Выталкивающая сила — сила Архимеда, действующая на шарик, погружённый в жидкий диэлектрик, и направленная вверх. Она равна весу вытесненной шариком жидкости: FАрх = ρжVg. Здесь ρж — плотность жидкости, V — объём погружённой части шарика. Эта сила уменьшает действие тяжести, которое нужно уравновесить натяжением нити.

Как это устроено

Одноимённо заряженные шарики отталкиваются, поэтому нити отклоняются в разные стороны. Если шарики одинаковы, подвесы расположены симметрично, а массы и длины нитей равны, то силы и геометрические условия для них одинаковы. Поэтому равновесные положения тоже симметричны относительно вертикали. На каждый шарик действуют сила тяжести, натяжение нити и сила отталкивания.

На шарик в воздухе сила тяжести направлена вниз, а электростатическая сила — горизонтально. Натяжение нити направлено вдоль неё вверх к точке подвеса. Разложим натяжение T на составляющие: T cos α по вертикали и T sin α по горизонтали. Из равновесия получаем T cos α = mg и T sin α = Fэл; деление второго равенства на первое даёт Fэл = mg · tg α.

Каждый шарик смещается по горизонтали от своей вертикали на l · sin α: это катет прямоугольного треугольника с гипотенузой l. Поскольку шарики расходятся в противоположные стороны на одинаковое расстояние, их центры разделяет удвоенное смещение. Поэтому расстояние между центрами r = 2l · sin α. Именно r, а не длину нити, нужно подставлять в закон Кулона.

В жидкости заряды взаимодействуют слабее, чем в вакууме: при неизменных зарядах и расстоянии сила уменьшается в ε раз. Поэтому закон Кулона принимает вид Fэл = kq²/(εr²), где q — заряд каждого одинаково заряженного шарика, а k — постоянная в законе Кулона. Диэлектрическая проницаемость не уменьшает силу тяжести. Она влияет только на электростатическое взаимодействие.

На погружённый шарик дополнительно действует сила Архимеда вверх, и эффективный вес становится равен mg − FАрх = (m − ρжV)g. Тогда уравнение горизонтального равновесия остаётся T sin α = Fэл, а вертикального — T cos α = (m − ρжV)g. С их помощью находят силу, затем используют закон Кулона и r = 2l · sin α. Получается q = 2l · sin α · √[ε(m − ρжV)g · tg α/k]; формула подходит при m > ρжV.

Равновесие заряженных шариков в воздухе и жидком диэлектрике

В таблице сначала выбирают среду, затем используют соответствующее уравнение для силы и эффективного веса. В обоих случаях расстояние между центрами вычисляют одинаково, но в формуле заряда для жидкости появляется ε и учитывается объём шарика. Если известны l и α, удобно сначала найти r, а уже потом подставлять данные в формулу.

Разбор задач

Заряд шариков в воздухе

Два одинаковых шарика массой m подвешены на нитях длиной l и отклонились на угол α. Нужно найти заряд каждого шарика q. Считаем, что заряды одинаковы, а воздух по электрическим свойствам близок к вакууму. Ответ можно выразить через заданные величины.

1. Запишем условия равновесия одного шарика: по горизонтали T sin α = Fэл, по вертикали T cos α = mg. Разделим равенства и получим Fэл = mg · tg α.
2. Найдём расстояние между центрами: r = 2l · sin α. Два одинаковых заряда взаимодействуют по закону Кулона, поэтому Fэл = kq²/r².
3. Выразим заряд: q = √(Fэлr²/k). Подставляя силу и расстояние, получим q = 2l · sin α · √(mg · tg α/k).

Ответ: q = 2l · sin α · √(mg · tg α/k).

Заряд шариков в жидкости

Шарики имеют массу m и объём V и находятся в жидкости плотностью ρж с относительной диэлектрической проницаемостью ε. Известны длина нити l и угол отклонения α. Требуется определить одинаковый заряд шариков, учитывая и действие жидкости. Предполагаем, что шарики полностью погружены и m > ρжV.

1. Вычислим силу Архимеда FАрх = ρжVg. Эффективный вес шарика равен mg − FАрх = (m − ρжV)g.
2. Из равновесия по горизонтали и вертикали следует Fэл = (m − ρжV)g · tg α. Геометрия даёт r = 2l · sin α.
3. В жидкости Fэл = kq²/(εr²), откуда q = r√(εFэл/k). Подстановка найденных значений даёт q = 2l · sin α · √[ε(m − ρжV)g · tg α/k].

Ответ: q = 2l · sin α · √[ε(m − ρжV)g · tg α/k].

Сравнение углов в двух средах

Для одной и той же пары шариков сравнили угол αа в воздухе и угол αж в жидкости. Плотность и диэлектрическая проницаемость жидкости известны, заряд шариков одинаков в обоих опытах. Нужно найти неизвестную массу шарика или проверить значение ε. Обозначим R = tg αж/tg αа.

1. В воздухе Fэл = mg · tg αа, а в жидкости сила взаимодействия при том же расстоянии ослаблена в ε раз. Поэтому Fэл/ε = (m − ρжV)g · tg αж.
2. Поделим уравнение для жидкости на уравнение для воздуха. Получим R = m/[ε(m − ρжV)]. Заряд и расстояние при таком сравнении сокращаются.
3. Если ε известно, выразим массу: m = RερжV/(Rε − 1). Если масса известна, для проверки вычислим ε = m/[R(m − ρжV)] и сравним результат с заданным значением.

Ответ: масса определяется по формуле m = RερжV/(Rε − 1); при проверке ε используют формулу ε = m/[R(m − ρжV)].

Типичные ошибки

Подставлять в закон Кулона длину одной нити вместо расстояния между зарядами — значит забыть, что шарики раздвигаются в разные стороны. Такая ошибка возникает, когда в геометрии не учитывают смещение обоих шариков. Проверьте чертёж и найдите расстояние между центрами: r = 2l · sin α. При α = 0 расстояние должно быть нулевым, а не равным l.

Направлять электростатическую силу вдоль нити или вертикально неверно: сила между шариками идёт по линии, соединяющей их центры. Если шарики расположены на одной высоте, эта линия горизонтальна. Ошибка часто появляется из-за смешения направления силы с направлением натяжения. Проверьте, что сила отталкивания направлена от второго шарика, а натяжение — к точке подвеса.

В жидкости нельзя оставлять в вертикальном уравнении только mg: жидкость выталкивает шарик вверх. Так поступают, когда переносят формулу для воздуха без изменений. Замените вес на эффективный вес mg − FАрх и проверьте единицы: обе величины должны измеряться в ньютонах. При полном погружении FАрх = ρжVg.

Нельзя делить на ε силу тяжести или забывать ε в законе Кулона. Проницаемость описывает влияние среды на электрическое взаимодействие, а не на притяжение Земли. Проверьте формулу: в среде Fэл = kq²/(εr²), тогда как тяжесть остаётся mg. Если выталкивающая сила есть, эффективный вес меняется отдельно — на mg − FАрх.

Связь с другими темами

Для решения нужны закон Кулона, правила сложения сил и условия равновесия. Разложение натяжения нити на горизонтальную и вертикальную составляющие связывает силы с тригонометрией прямоугольного треугольника. С механикой связаны натяжение нити и равновесие тела, а с гидростатикой — сила Архимеда. Эти знания применяют, когда по отклонению шариков измеряют заряд или исследуют свойства диэлектриков.

Что запомнить

• Одноимённо заряженные шарики отталкиваются и в равновесии расходятся симметрично.
• При равновесии сумма всех сил, действующих на каждый шарик, равна нулю.
• Для шарика в воздухе Fэл = mg · tg α.
• Расстояние между центрами шариков равно 2l · sin α.
• В диэлектрике электростатическая сила уменьшается в ε раз.
• В жидкости эффективный вес шарика равен mg − FАрх.
• По углу отклонения нитей можно определить заряд шариков или характеристики среды.