3. Соотношение между напряжением и напряжённостью для однородного поля

Определения и обозначения

Однородное электрическое поле — поле, в котором напряжённость одинакова по модулю и направлению во всех точках. Его линии напряжённости идут параллельно и расположены с одинаковой густотой. Такое приближение используют, например, в пространстве между большими параллельными пластинами.

Напряжённость электрического поля E — векторная величина, равная отношению силы, действующей на положительный пробный заряд, к этому заряду: E = F/q. Она показывает, какая сила приходится на каждый кулон заряда, поэтому измеряется в Н/Кл или В/м. Направление E совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд.

Напряжение U между двумя точками — работа электрического поля по перемещению единичного положительного заряда: U = A/q. В отличие от напряжённости, напряжение относится не к одной точке или участку поля, а к паре точек. Его единица измерения — вольт: 1 В = 1 Дж/Кл.

Эквипотенциальная поверхность — поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. При перемещении заряда по такой поверхности поле не совершает работы, поэтому напряжение между выбранными точками равно нулю. Линии напряжённости пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом.

Как это устроено

На заряд q в электрическом поле действует сила F = qE. Если заряд перемещается вдоль направления поля на расстояние d, сила и перемещение направлены одинаково, поэтому работа равна произведению силы на путь: A = Fd = qEd. Чем больше заряд, напряжённость или путь, тем больше совершённая работа.

Напряжение определяют как работу, приходящуюся на единичный положительный заряд: U = A/q. Подставляя в это определение выражение A = qEd, получаем U = Ed. Заряд сокращается, потому что напряжение характеризует участок поля, а не конкретный заряд, который в нём перемещают.

Из основной формулы можно выразить любую нужную величину: E = U/d и d = U/E. Формула E = U/d показывает, что напряжённость равна напряжению на единицу расстояния. Поэтому при одинаковом напряжении более близкие пластины создают более сильное поле, а при постоянной напряжённости увеличение расстояния приводит к росту напряжения.

Если перемещение образует с направлением поля угол α, работает только составляющая пути вдоль поля: d cos α. Поэтому в общем случае U = Ed cos α. При движении вдоль линий поля cos 0° = 1 и напряжение максимально, а при движении перпендикулярно им cos 90° = 0 и работа поля равна нулю.

Потенциал уменьшается в направлении вектора напряжённости. Положительный заряд испытывает силу по направлению E и потому самопроизвольно движется от большего потенциала к меньшему, переходя в состояние с меньшей потенциальной энергией. Для отрицательного заряда направление силы противоположно вектору E.

Основные величины и соотношения в однородном электрическом поле

Сначала определите, что требуется найти: напряжение, напряжённость или расстояние. Затем выберите строку со связью U = Ed и проверьте, направлено ли перемещение вдоль поля. Если угол не равен нулю, вместо неё применяйте формулу U = Ed cos α.

Разбор задач

Задача 1

Условие: между параллельными пластинами напряжение 600 В, расстояние между ними 0,03 м. Найти напряжённость поля. Поле между пластинами считаем однородным.

1. Записываем связь между величинами: E = U/d.
2. Все данные уже представлены в единицах СИ: напряжение в вольтах, расстояние в метрах.
3. Подставляем значения: E = 600/0,03 = 20 000 В/м = 20 кВ/м.

Ответ: E = 20 000 В/м, или 20 кВ/м.

Задача 2

Условие: напряжённость поля равна 2,5 кВ/м, а заряд переместился на 8 см вдоль линий поля. Найти напряжение. Переведём величины в СИ.

1. Получаем E = 2500 В/м, d = 0,08 м.
2. Так как перемещение происходит вдоль поля, используем U = Ed без косинуса.
3. Вычисляем: U = 2500 · 0,08 = 200 В.

Ответ: напряжение между точками равно 200 В.

Задача 3

Условие: E = 400 В/м, перемещение d = 0,5 м направлено под углом 60° к полю. Заряд q = 3 мкКл. Найти напряжение и работу поля.

1. Учитываем только проекцию пути на направление поля: U = Ed cos 60°.
2. Подставляем: U = 400 · 0,5 · 0,5 = 100 В.
3. Переводим заряд: q = 3 · 10⁻⁶ Кл. Работа A = qU = 3 · 10⁻⁶ · 100 = 3 · 10⁻⁴ Дж.

Ответ: U = 100 В, A = 3 · 10⁻⁴ Дж.

Типичные ошибки

Путают напряжение и напряжённость. Напряжение относится к двум точкам и измеряется в вольтах, а напряжённость характеризует поле и измеряется в Н/Кл или В/м. Проверьте себя по единицам и по смыслу искомой величины.

Забывают множитель cos α. Формула U = Ed верна для перемещения вдоль поля, а при другом направлении нужно брать проекцию пути. Перед вычислением найдите угол между перемещением и вектором E.

Не переводят единицы в СИ. Сантиметры, километры и кВ/м нельзя бездумно подставлять в формулы с метрами и вольтами. Выпишите рядом переводы: 8 см = 0,08 м, 2,5 кВ/м = 2500 В/м.

Неверно определяют направление поля. Вектор E направлен от большего потенциала к меньшему, а не наоборот. Для проверки представьте движение положительного пробного заряда: его сила показывает направление поля.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны определения работы силы, электрического заряда, силы Кулона, потенциала и напряжения. Без связи A = Fs и определения U = A/q трудно вывести формулу для однородного поля.

Соотношение U = Ed применяется при изучении плоского конденсатора. Оно связывает напряжение между его пластинами, расстояние между ними и напряжённость электрического поля внутри.

Эти формулы нужны в задачах о движении заряженных частиц между пластинами и о работе электрического поля. Через напряжение можно определить изменение энергии заряда: A = qU.

Что запомнить

• Для однородного поля при перемещении вдоль линий поля U = Ed.
• Напряжённость можно найти по формуле E = U/d.
• Напряжение измеряется в вольтах, напряжённость — в Н/Кл или В/м.
• В общем случае U = Ed cos α.
• Вектор напряжённости направлен от большего потенциала к меньшему.
• Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны линиям напряжённости.
• Чем больше расстояние между точками при неизменной напряжённости, тем больше напряжение между ними.