1. Движение вдоль линий напряжённости

Определения и обозначения

Напряжённость электрического поля — векторная величина E = F/q, где F — сила, действующая на положительный пробный заряд q. Направление E совпадает с направлением силы на такой заряд. Это обозначение позволяет описывать поле независимо от того, какой заряд в нём находится.

Линия напряжённости — линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора E. Она показывает направление поля, но не обязательно траекторию движущейся частицы. Линии помогают определить направление силы, если известен знак заряда.

Работа электрического поля — работа электрической силы при перемещении заряда. Она положительна, если сила направлена по перемещению, отрицательна, если против, и равна нулю при перпендикулярном перемещении. Знак работы показывает, передаёт ли поле энергию движению заряда или отнимает её.

Потенциальная энергия заряда — энергия, связанная с положением заряда в электрическом поле. Работа поля равна изменению кинетической энергии и противоположна изменению потенциальной: A = ΔK = −ΔU. Это понятие помогает учитывать превращение энергии при движении заряда.

Как это устроено

На заряд в электрическом поле действует сила F = qE. Если q положительно, умножение вектора E на положительное число не меняет его направления, поэтому сила направлена по полю. Если заряд отрицателен, знак q меняет направление вектора силы на противоположное. Следовательно, нельзя определять направление силы, глядя только на линии напряжённости: нужно знать знак заряда.

В однородном поле напряжённость и сила на заряд постоянны по модулю и направлению. При движении вдоль линии напряжённости перемещение направлено либо по полю, либо против него, а значит, сила также направлена вдоль одной из этих сторон. Если сила и перемещение сонаправлены, поле совершает положительную работу; если противоположны — отрицательную. Знак зависит и от заряда, и от того, куда он перемещается.

Для перемещения вдоль однородного поля модуль работы выражается как A = qEs, если q — знаковый заряд, а перемещение направлено по E; здесь s — пройденное расстояние. При перемещении в противоположную сторону знак меняется. В более общем случае A = qEs cos α, где α — угол между полем и перемещением. Поперёк поля α = 90°, поэтому cos α = 0: сила не имеет составляющей вдоль перемещения и работа равна нулю.

Теорема о кинетической энергии связывает работу равнодействующей силы с изменением кинетической энергии: A = ΔK. Если работа поля положительна и другие силы не влияют на движение, кинетическая энергия растёт, а модуль скорости увеличивается. При отрицательной работе кинетическая энергия уменьшается, поэтому скорость может стать меньше или обратиться в ноль. Значит, движение вдоль линии напряжённости не обязательно ускоренное: электрическая сила может быть направлена против скорости.

В электростатическом поле работа связана с потенциальной энергией соотношением A = −ΔU. Когда поле совершает положительную работу, потенциальная энергия заряда уменьшается; при отрицательной работе она увеличивается. Если на частицу действует только электростатическая сила, то ΔK = −ΔU, откуда Δ(K + U) = 0. Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется, хотя каждая из них по отдельности может меняться.

Движение заряда вдоль линии напряжённости

Сначала найдите направление силы с учётом знака заряда, затем сравните его с направлением перемещения. Совпадение даёт положительную работу и увеличение кинетической энергии, противоположность — отрицательную работу и уменьшение энергии. Таблица предполагает, что на заряд действует только электрическая сила.

Разбор задач

Задача 1. Положительный заряд q = 2 мкКл перемещается на s = 0,3 м по направлению напряжённости однородного поля E = 500 Н/Кл. Найдём работу поля. Так как заряд положительный, сила направлена по полю, а перемещение совпадает с силой, работа будет положительной.

1. Запишем формулу для движения по направлению поля: A = qEs.
2. Переведём заряд в единицы СИ: q = 2 мкКл = 2 · 10⁻⁶ Кл.
3. Подставим значения: A = 2 · 10⁻⁶ · 500 · 0,3 = 3 · 10⁻⁴ Дж.
4. Проверим знак: сила и перемещение сонаправлены, поэтому результат положителен.

Ответ: A = 3 · 10⁻⁴ Дж. Если бы заряд перемещали против поля, при тех же значениях модуль работы остался бы прежним, а знак стал бы отрицательным.

Задача 2. Частица с зарядом q = 4 мкКл и массой m = 2 · 10⁻⁶ кг начинает движение из состояния покоя. Она проходит 0,5 м вдоль направления однородного поля напряжённостью 1000 Н/Кл. Найдём конечную скорость, считая, что действует только электрическая сила. Положительный заряд движется по силе, поэтому поле разгоняет частицу.

1. Сначала найдём работу: A = qEs = 4 · 10⁻⁶ · 1000 · 0,5 = 2 · 10⁻³ Дж.
2. По теореме о кинетической энергии A = mv²/2 − mv₀²/2. Так как v₀ = 0, получаем A = mv²/2.
3. Выразим скорость: v = √(2A/m).
4. Подставим значения: v = √(2 · 2 · 10⁻³ / (2 · 10⁻⁶)) ≈ 44,7 м/с.
5. Положительная работа дала положительную кинетическую энергию, поэтому найденное значение физически подходит.

Ответ: скорость частицы после перемещения примерно равна 45 м/с.

Задача 3. Отрицательная частица движется по направлению поля со скоростью 10 м/с. Её масса равна 2 · 10⁻⁶ кг, заряд — −2 мкКл, а напряжённость поля — 1000 Н/Кл. Определим, остановится ли частица и какое расстояние пройдёт до остановки. Сила на отрицательный заряд направлена против поля, то есть против начальной скорости.

1. Работа силы на пути s: A = qEs, если перемещение направлено по E. Здесь q отрицателен, поэтому A = −|q|Es.
2. При остановке конечная кинетическая энергия равна нулю, значит, работа поля A = 0 − mv₀²/2.
3. Приравняем выражения: −|q|Es = −mv₀²/2. После сокращения минусов получим s = mv₀²/(2|q|E).
4. Подставим данные: s = (2 · 10⁻⁶ · 10²)/(2 · 2 · 10⁻⁶ · 1000) = 0,005 м.
5. Отрицательная работа уменьшает кинетическую энергию до нуля, значит, частица действительно остановится.

Ответ: частица остановится, пройдя 0,005 м, или 5 мм. После остановки сила будет продолжать действовать против поля, поэтому частица начнёт двигаться в обратную сторону.

Типичные ошибки

Направлять силу на любой заряд по напряжённости. Напряжённость задана направлением силы на положительный пробный заряд, поэтому для отрицательного знак заряда разворачивает силу. Ошибку легко допустить, если запомнить только направление линий. Проверка: запишите F = qE и отдельно учтите знак q.

Подставлять модуль заряда и забывать о знаке работы. Модуль нужен, чтобы найти величину силы или модуль работы, но направление определяет знак результата. Часто механически используют A = |q|Es без проверки перемещения. Проверьте, совпадают ли направления силы и перемещения; при противоположных направлениях работа отрицательна.

Путать работу поля с изменением потенциальной энергии. Работа поля равна изменению кинетической энергии, но потенциальная энергия меняется с противоположным знаком: A = ΔK = −ΔU. Путаница возникает из-за того, что обе величины связаны с одной и той же работой. Для проверки запишите оба равенства: если A положительна, K растёт, а U уменьшается.

Считать, что движение вдоль линии поля обязательно ускоренное. Направление движения задаёт скорость, а ускорение — сила; они могут быть противоположны. Поэтому частица способна двигаться по линии поля и одновременно замедляться. Проверьте направление силы относительно скорости: противонаправленная сила уменьшает модуль скорости.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны определения электрического поля, напряжённости и силы, действующей на заряд. Связь работы с изменением скорости опирается на теорему о кинетической энергии, а переход между кинетической и потенциальной энергиями — на закон сохранения механической энергии. Эти идеи пригодятся при изучении движения заряженных частиц в электрическом поле и принципа работы ускорителей. Расчёт работы помогает понять, как электрическое поле изменяет энергию частицы.

Что запомнить

• На положительный заряд сила действует по направлению напряжённости.
• На отрицательный заряд сила действует против направления напряжённости.
• Работа поля положительна, если сила направлена по перемещению.
• Работа поля изменяет кинетическую энергию заряда.
• В электростатическом поле работа связана с противоположным по знаку изменением потенциальной энергии.
• Для определения изменения скорости учитывают знак работы, а не только её модуль.